Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
y=1 / x^2, y=x, y=18 x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa esboçar a região limitada pelas curvas y=1/x^2, y=x e y=tfrac18x, decidir se integra em x ou y e calcular a área dessa região. O conteúdo principal é cálculo de área por integrais definidas.

Passo 2

Encontrar interseções: para achar onde a curva y=1/x^2 cruza as linhas resolvemos
1/x^2 = x implies x^3=1 implies x=1
e
1/x^2 = tfrac18 x implies x^3=8 implies x=2
Já as retas y=x e y=tfrac18x se cruzam em x=0, mas essa interseção não envolve a curva. Então os vértices do contorno são: (0,0), (1,1) e (2,¼).

Passo 3

Esboço e estratégia de integração: no intervalo 0<= x<=1 a região fica entre a reta inferior y=tfrac18x e a reta superior y=x. Para 1<= x<=2 a reta inferior continua y=tfrac18x e a curva superior é y=1/x^2. Isso sugere integrar em relação a x em duas partes.

Passo 4

Configuração das integrais: a área é a soma de
integral0^1l(x - tfrac18xr),dx
e
integral1^2l(x^-2 - tfrac18xr),dx .

Passo 5

Cálculo das integrais: primeiro
integral0^1tfrac78x,dx=tfrac78cdotx^22|0^1=tfrac716
segundo
integral1^2l(x^-2-tfrac18xr),dx =l(-tfrac1x-tfrac116x^2r)|1^2 =l(-tfrac12-tfrac416r)-l(-1-tfrac116r)=tfrac516
Somando dá a área total.

Passo 6

Somando as duas partes obtemos
A=tfrac716+tfrac516=tfrac1216=tfrac34 .

Resposta

tfrac34

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