Calcule a derivada da função dada usando a definição.
f(x)=2 x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=2x^2+x usando a definição de derivada. O conteúdo é a definição
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h,
e vamos precisar de f(x+h), do quociente incremental e do limite quando hto 0.

Passo 2

Aplicando a definição, primeiro escrevemos
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h
Agora calculemos
f(x+h)=2,(x+h)^2+(x+h)

Passo 3

Subtraindo f(x), temos
f(x+h)-f(x) =l[2(x+h)^2+(x+h)r]-l[2x^2+xr] =2l(x^2+2xh+h^2r)+x+h-2x^2-x
Simplificando o numerador:
2x^2+4xh+2h^2+x+h-2x^2-x =4xh+2h^2+h

Passo 4

Formando o quociente incremental e simplificando por h:
f(x+h)-f(x)h =4xh+2h^2+hh =4x+2h+1

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando hto 0:
f'(x)=limhto0(4x+2h+1)=4x+1

Resposta

f'(x)=4x+1

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