Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
f(x, y)=3 x-4 yx^2+8 y

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos (x,y) em que a função
f(x,y)=3x-4yx^2+8y
é diferenciável. Vamos usar a propriedade de quociente de funções diferenciáveis.

Passo 2

Observe que o numerador g(x,y)=3x-4y e o denominador h(x,y)=x^2+8y são polinômios em (x,y), logo são funções de classe C^infty em R^2. Porém, para que o quociente g/h seja definido, precisamos de
h(x,y)neq 0Long<=ftrightarrow x^2+8yneq 0

Passo 3

Pela regra do quociente, se g e h são diferenciáveis num ponto e h nesse ponto é não nulo, então g/h é diferenciável nesse ponto. Portanto, f é diferenciável em todo ponto de seu domínio natural, onde o denominador não se anula.

Resposta

A função f é diferenciável em
(x,y)inR^2 mid x^2+8yneq 0

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