Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
f(x, y)=1x y

Passo 1

O enunciado nos dá a função \r
f(x,y)=1x,y\r
e pede onde ela é diferenciável. \r
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e para resolver vamos (1) determinar o domínio de definição, (2) calcular as derivadas parciais e (3) usar o critério de existência e continuidade dessas derivadas para assegurar diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de definição de f. Como o denominador não pode ser zero, temos \r
D=(x,y)inR^2mid xneq 0,;yneq 0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f em um ponto genérico (x,y)in D. \r
A derivada parcial em relação a x é\r
\r
A derivada parcial em relação a y é\r

Passo 4

As funções \r
\r
são compostas de potências e produtos de x e y no domínio D, logo são contínuas em todo D. Pelo teorema que afirma que se as derivadas parciais existem e são contínuas num vizinho de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto, concluímos que f é diferenciável em cada ponto de D.

Resposta

A função f(x,y)=1/(xy) é diferenciável em todos os pontos (x,y) tais que xneq0 e yneq0.

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