Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
4.1
Passo 1
O enunciado nos dá a função \r
e pede onde ela é diferenciável. \r
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e para resolver vamos (1) determinar o domínio de definição, (2) calcular as derivadas parciais e (3) usar o critério de existência e continuidade dessas derivadas para assegurar diferenciabilidade.
O conteúdo envolvido é diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e para resolver vamos (1) determinar o domínio de definição, (2) calcular as derivadas parciais e (3) usar o critério de existência e continuidade dessas derivadas para assegurar diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o domínio de definição de
. Como o denominador não pode ser zero, temos \r
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em um ponto genérico
. \r
A derivada parcial em relação a é\r
A derivada parcial em relação a
\r
A derivada parcial em relação a
é\r
Passo 4
As funções \r
\r
são compostas de potências e produtos de
e
no domínio
, logo são contínuas em todo
. Pelo teorema que afirma que se as derivadas parciais existem e são contínuas num vizinho de um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto, concluímos que
é diferenciável em cada ponto de
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos
tais que
e
.