Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
g(x, y)=2 x^4-3 x^2 y^2+1x^2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar onde a função
g(x,y) = 2x^4 - 3x^2y^2 + 1x^2y^2
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciação de funções de várias variáveis, em que usamos o fato de que soma e composição de funções diferenciáveis é diferenciável sempre que todas as expressões envolvidas estejam bem definidas.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio de g. A única parte que pode dar problema é o termo 1x^2y^2, que exige
x^2y^2neq 0
ou seja
xneq 0 e yneq 0
Logo o domínio de g é
D = (x,y)inR^2mid xneq0,;yneq0

Passo 3

Em qualquer ponto de D, cada parcela de g é combinação de potências e recíproco de variáveis, todas diferenciáveis em seu domínio. Podemos verificar explicitamente as derivadas parciais e checar que elas estão definidas e são contínuas em D.
partial gpartial x(x,y) = partialpartial xl(2x^4r) - partialpartial xl(3x^2y^2r) + partialpartial xl(1x^2y^2r) = 8x^3 - 6xy^2 - 2x^3y^2,
partial gpartial y(x,y) = partialpartial yl(-3x^2y^2r) + partialpartial yl(1x^2y^2r) = -6x^2y - 2x^2y^3
Ambas existem e são contínuas para xneq0 e yneq0.

Passo 4

Como g tem derivadas parciais bem definidas e contínuas em todo ponto de D, concluímos que g é de classe C^1 em D. Logo g é diferenciável em todo ponto de D.

Resposta

A função g é diferenciável em
(x,y)inR^2mid xneq 0,;yneq 0

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