Verifique onde as funções a seguir são diferenciáveis:
4.1
4.1
Passo 1
O enunciado pede para verificar onde a função
é diferenciável. O conteúdo envolvido é diferenciação de funções de várias variáveis, em que usamos o fato de que soma e composição de funções diferenciáveis é diferenciável sempre que todas as expressões envolvidas estejam bem definidas.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio de
. A única parte que pode dar problema é o termo
, que exige
ou seja
Logo o domínio de
é
Passo 3
Em qualquer ponto de
, cada parcela de
é combinação de potências e recíproco de variáveis, todas diferenciáveis em seu domínio. Podemos verificar explicitamente as derivadas parciais e checar que elas estão definidas e são contínuas em
.
Ambas existem e são contínuas para
e
.
Passo 4
Como
tem derivadas parciais bem definidas e contínuas em todo ponto de
, concluímos que
é de classe
em
. Logo
é diferenciável em todo ponto de
.
Resposta
A função
é diferenciável em