Calcule a derivada da função dada.
y=ln |x|

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=lnlvert xrvert. O conteúdo principal aqui é diferenciação de logaritmo natural e uso da regra da cadeia, além de conhecer a derivada de lvert xrvert.

Passo 2

A função valor absoluto pode ser escrita como
lvert xrvert = x, & x>0, -,x, & x<0

Passo 3

Definimos u=lvert xrvert, de modo que y=ln(u). Aplicando a regra da cadeia para ln(u), obtemos
y'=1u,dudx

Passo 4

Agora calculamos tfracdudx. A derivada de lvert xrvert é
dudx=ddxlvert xrvert= 1,&x>0, -1,&x<0,
o que pode ser escrito de forma unificada como
dudx=xlvert xrvert, xneq0

Passo 5

Substituindo em y'=1u,tfracdudx com u=lvert xrvert e tfracdudx=x/lvert xrvert, vem
y'=1lvert xrvert,xlvert xrvert =xlvert xrvert^2 =xx^2 =1x, xneq0

Resposta

y'=1x, xneq0

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