1. y^prime+y ln y=y e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de primeira ordem
y' + yln y = y e^x
Percebemos que é não-linear por causa de ln y, mas ao dividir tudo por y fica
y'y + ln y = e^x
Como y'y=(ln y)', fazemos a substituição
z = ln y,
que transforma o problema numa EDO linear de primeira ordem para z(x).

Passo 2

Usando z=ln y temos
z' + z = e^x
Esta é uma EDO linear com coeficiente de z igual a 1. Vamos achar o fator integrante
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x):
e^x z' + e^x z = e^xcdot e^x = e^2x
O lado esquerdo é a derivada de z,e^x, logo
l(z,e^xr)' = e^2x
Integramos ambos os lados:
z,e^x = integral e^2x,dx = tfrac12,e^2x + C

Passo 4

Isolando z obtemos
z = tfrac12,e^2xe^-x + C e^-x = tfrac12,e^x + C e^-x
Como z=ln y, temos
ln y = tfrac12,e^x + C e^-x

Passo 5

Para voltar a y, basta exponentiar:
y(x) = expl(tfrac12,e^x + C e^-xr)

Resposta

y(x) = expl(tfrac12,e^x + C e^-xr),
que é a solução geral da EDO dada.

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