Encontre f^prime(x).
5. (1+5 sen x-5 cos x) /(5+sen x)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=1+5sin x-5cos x(5+sin x)^2
Queremos f'(x). Vamos usar a regra do quociente e as derivadas l(sin xr)'=cos x e l(cos xr)'=-sin x.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador como
N(x)=1+5sin x-5cos x, D(x)=(5+sin x)^2
Então
N'(x)=5cos x+5sin x, D'(x)=2(5+sin x)cos x

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2 =(5cos x+5sin x)(5+sin x)^2 -2cos x,(1+5sin x-5cos x),(5+sin x) (5+sin x)^4

Passo 4

Fatorando um (5+sin x) no numerador, cancelamos com uma potência do denominador:
f'(x) =(5+sin x)l[(5cos x+5sin x)(5+sin x)-2cos x,(1+5sin x-5cos x)r] (5+sin x)^4 =(5cos x+5sin x)(5+sin x)-2cos x,(1+5sin x-5cos x) (5+sin x)^3

Resposta

f'(x) =(5cos x+5sin x)(5+sin x)-2cos x,(1+5sin x-5cos x) (5+sin x)^3

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