Dada z=9-2 x+4 y-x^2-4 y^2. Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e classifique-o(s), quando possível.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=9-2x+4y-x^2-4y^2
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Vamos usar o teste da segunda derivada em duas variáveis, ou seja, calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois o Hessiano para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos.
partial fpartial x=-2-2x, partial fpartial y=4-8y
Igualando a zero,
-2-2x=0implies x=-1,
4-8y=0implies y=tfrac12
Logo há um único ponto crítico em l(-1,tfrac12r).

Passo 3

Agora usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
fxx=-2, fyy=-8, fxy=0
O determinante do Hessiano é
D = fxx,fyy - (fxy)^2=(-2)(-8)-0=16>0
Como D>0 e fxx=-2<0, o ponto crítico é um ponto de máximo local. Além disso, como a função é um quadrático concavo para baixo, trata-se de um máximo global.

Resposta

O único ponto crítico é l(-1,tfrac12r), e nele f atinge seu máximo (local e global).

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