Dada
. Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e classifique-o(s), quando possível.
Passo 1
O enunciado dá a função de duas variáveis
e pede para encontrar os pontos críticos e classificá-los (máximo, mínimo ou sela). Vamos usar o teste da segunda derivada em duas variáveis, ou seja, calcular o gradiente para achar os pontos críticos e depois o Hessiano para classificá-los.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar os pontos críticos.
Igualando a zero,
Logo há um único ponto crítico em
.
Passo 3
Agora usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O determinante do Hessiano é
Como
e
, o ponto crítico é um ponto de máximo local. Além disso, como a função é um quadrático concavo para baixo, trata-se de um máximo global.
Resposta
O único ponto crítico é
, e nele
atinge seu máximo (local e global).