Calcule a derivada da função:
f(x)=cos ^2(x)x^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas e vamos precisar usar a Regra do Quociente e um pouquinho da Regra da Cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. Temos um quociente onde o numerador é ( uv )' = u'v - uv'v^2 e o denominador é . A Regra do Quociente nos diz que para derivar uma função que é um quociente , a derivada é:

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar v' = 3x^2 . A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos derivar u' = 2cos(x) cdot (-sin(x)) = -2cos(x)sin(x) . Aqui, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função composta. Se , então:

Passo 6

Agora que temos f'(x) = u'v - uv'v^2 = (-2cos(x)sin(x)) cdot x^3 - cos^2(x) cdot 3x^2x^6 e , vamos aplicar a Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
-2cos(x)sin(x) cdot x^3 - 3cos^2(x) cdot x^2 = -2x^3cos(x)sin(x) - 3x^2cos^2(x)

Passo 8

Agora, colocamos tudo junto:
f'(x) = -2x^3cos(x)sin(x) - 3x^2cos^2(x)x^6

Passo 9

Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por f'(x) = -2 cos(x)sin(x)x^3 - 3 cos^2(x)x^4 :

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = -2cos(x)sin(x)x^3 - 3cos^2(x)x^4

Exercícios relacionados