Calcule as integrais trigonométricas:
integral cot ^5(x) sin ^4(x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trigonométrica que você trouxe:
integral cot^5(x) sin^4(x) , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais envolvendo funções trigonométricas, especificamente o cosseno e o seno. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função inteira em termos de senos e cossenos para facilitar a manipulação. Sabemos que:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Então, cot^5(x) = (cos(x)sin(x))^5 = cos^5(x)sin^5(x) fica:
cos^5(x)sin^5(x) cdot sin^4(x) = cos^5(x)sin(x)
Agora, multiplicando pela integral cos^5(x)sin(x) , dx :
Então, nossa integral agora é:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a integração. Podemos separar uma potência de cos^5(x) = cos^4(x) cdot cos(x) :
cos^4(x) = (cos^2(x))^2 = (1 - sin^2(x))^2
Sabemos que integral (1 - sin^2(x))^2 cdot cos(x)sin(x) , dx , então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
Substituindo integral (1 - u^2)^2u , du na integral:

Passo 5

Vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral 1 - 2u^2 + u^4u , du = integral (1u - 2u + u^3) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1u , du = ln|u|
integral -2u , du = -u^2
integral u^3 , du = u^44
Então, a integral se torna:
ln|u| - u^2 + u^44 + C

Passo 7

Por fim, substituímos u = sin(x) de volta em termos de ln|sin(x)| - sin^2(x) + sin^4(x)4 + C :
Portanto, a solução final é:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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