Calcule:
A derivada da função f(x)=e^5 x cos (x)3 x^2.

Passo 1

A função dada é f(x)=e^5xcos(x)3x^2. O conteúdo central para derivar esta função envolve a regra do quociente, além da regra do produto e da regra da cadeia para as funções e^5x e cos(x).

Passo 2

Vamos reescrever f(x) como f(x)=u(x)v(x), em que:
u(x)=e^5xcos(x)
v(x)=3x^2
e lembrar que a regra do quociente diz:
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Para achar u'(x), usamos a regra do produto em u(x)=e^5xcdotcos(x) e a regra da cadeia em e^5x. Assim:
(e^5x)'=5e^5x,
(cos(x))'=-sin(x),
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u'(x)=5e^5xcos(x)-e^5xsin(x)=e^5xl(5cos(x)-sin(x)r)

Passo 4

Para v(x)=3x^2, aplicamos a regra do poder:
v'(x)=3cdot2x=6x

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
$$f’(x)=\frac{e{5x}\bigl(5\cos(x)-\sin(x)\bigr)\cdot(3x2)-e{5x}\cos(x)\cdot(6x)}{(3x2)^2}.
$$

Passo 6

Agora simplificamos o numerador e o denominador. No numerador:
e^5xl[3x^2(5cos(x)-sin(x))-6xcos(x)r]=e^5xl[15x^2cos(x)-3x^2sin(x)-6xcos(x)r]
O denominador é (3x^2)^2=9x^4. Podemos fatorar 3x no numerador e cancelar com parte do denominador, chegando a:
f'(x)=e^5xl(5xcos(x)-xsin(x)-2cos(x)r)3x^3

Resposta

f'(x)=e^5xl((5x-2)cos(x)-xsin(x)r)3x^3

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