Considere os seguintes subconjuntos de sequências:
l^infty(R) & =x=(xn): xn in R forall n in N e sup n in N|xn|
Prove que cada uma deles é um subespaço vetorial de F(N, R). Além disso, valem as seguintes inclusões:
c0(R) subset c(R) subset l^infty(R) subset F(N, R)

Passo 1

O exercício define três conjuntos de sequências reais e pede para mostrar que cada um deles é subespaço vetorial de F( N, R), além de provar as inclusões c0( R)subset c( R)subset l^infty( R)subset F( N, R). Vamos usar teoria de subespaços e propriedades de convergência e de sequência limitada.

Passo 2

Lembrando a teoria: um subconjunto V de um espaço vetorial W é subespaço vetorial se (i) 0in V, (ii) para quaisquer u,vin V temos u+vin V e (iii) para qualquer escalar alphain R e uin V temos alpha uin V.

Passo 3

Para l^infty( R): o vetor zero é a sequência 0=(0,0,0,dots) e claramente supn|0|=0. Se x,yin l^infty( R), então existem constantes M,N tais que supn|xn|=M e supn|yn|=N. Logo para todo n, |xn+yn|<= M+N, logo x+y é limitada e está em l^infty( R). De modo semelhante, para escalar alpha, supn|alpha xn|=|alpha|M, então alpha xin l^infty( R).

Passo 4

Para c( R): a sequência zero converge (para zero), então 0in c( R). Se xto L e yto K, então x+yto L+K e alpha xto alpha L. Logo soma e múltiplo escalar de sequências convergentes ainda convergem, o que mostra que c( R) é subespaço.

Passo 5

Para c0( R): aqui todas as sequências convergem a zero, então o zero também está em c0( R). Se xnto0 e ynto0, então xn+ynto0 e alpha xnto0. Assim, fechamento para soma e escalar garante que c0( R) é subespaço.

Passo 6

Mostrando as inclusões: toda sequência que converge a zero ( c0) tem limite finito, logo c0( R)subset c( R). Qualquer sequência convergente é limitada (teorema de convergência implica limite inferior de densidade), então c( R)subset l^infty( R). E por definição l^infty( R) é subconjunto de todas as funções Nto R, ou seja, de F( N, R).

Resposta

Cada um dos conjuntos l^infty( R), c( R) e c0( R) é subespaço vetorial de F( N, R), e valem as inclusões
c0( R)subset c( R)subset l^infty( R)subset F( N, R).

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