Considere os seguintes subconjuntos de sequências:
Prove que cada uma deles é um subespaço vetorial de
. Além disso, valem as seguintes inclusões:
Passo 1
O exercício define três conjuntos de sequências reais e pede para mostrar que cada um deles é subespaço vetorial de
, além de provar as inclusões
. Vamos usar teoria de subespaços e propriedades de convergência e de sequência limitada.
Passo 2
Lembrando a teoria: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se (i)
, (ii) para quaisquer
temos
e (iii) para qualquer escalar
e
temos
.
Passo 3
Para
: o vetor zero é a sequência
e claramente
. Se
, então existem constantes
tais que
e
. Logo para todo
,
, logo
é limitada e está em
. De modo semelhante, para escalar
,
, então
.
Passo 4
Para
: a sequência zero converge (para zero), então
. Se
e
, então
e
. Logo soma e múltiplo escalar de sequências convergentes ainda convergem, o que mostra que
é subespaço.
Passo 5
Para
: aqui todas as sequências convergem a zero, então o zero também está em
. Se
e
, então
e
. Assim, fechamento para soma e escalar garante que
é subespaço.
Passo 6
Mostrando as inclusões: toda sequência que converge a zero (
) tem limite finito, logo
. Qualquer sequência convergente é limitada (teorema de convergência implica limite inferior de densidade), então
. E por definição
é subconjunto de todas as funções
, ou seja, de
.
Resposta
Cada um dos conjuntos
,
e
é subespaço vetorial de
, e valem as inclusões