Denote por F(N, R) o conjunto das sequências reais. Prove que este conjunto munido das operações
Soma: (xn)+(yn)=(xn+yn) e
Produto por escalar: alpha(xn)=(alpha xn),
é um espaço vetorial real.

Passo 1

Vamos provar que F(N,R), com as operações ponto a ponto, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: precisamos verificar fechamento, propriedades da soma (associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso aditivo) e propriedades da multiplicação escalar (identidade, associatividade e distributividades).

Passo 2

Mostramos primeiro o fechamento das operações. Sejam (xn) e (yn) em F(N,R) e alphainR. Então definimos ponto a ponto:
(xn)+(yn)=(xn+yn)
e
$$alpha(x_n)=(\alpha x_n).
$$
Como soma e produto escalar de números reais são reais, ambos resultam em sequências reais, logo o conjunto é fechado sob essas operações.

Passo 3

A seguir, verificamos as propriedades da soma. Para quaisquer (xn),(yn),(zn):
Associatividade:
((xn)+(yn))+(zn)=(xn+yn)+zn=(xn+(yn+zn))=(xn)+((yn)+(zn))
Comutatividade:
(xn)+(yn)=(xn+yn)=(yn+xn)=(yn)+(xn)
Agora, elemento neutro e inverso aditivo. A sequência zero é (0n) com 0n=0 para todo n. Então
(xn)+(0n)=(xn+0)=(xn),
e o inverso de (xn) é (-xn), pois
(xn)+(-xn)=(xn-xn)=(0n)

Passo 4

Restam propriedades da multiplicação escalar. Para alpha,betainR e (xn),(yn) em F(N,R):
Elemento unitário:
1,(xn)=(1cdot xn)=(xn)
Associatividade escalar:
(alphabeta)(xn)=(alphabeta)xn=alpha(beta xn)=alphal(beta(xn)r)
Distributividade em relação à soma de vetores:
alphal((xn)+(yn)r)=alpha(xn+yn)=(alpha xn+alpha yn)=(alpha(xn))+l(alpha(yn)r)
Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha+beta)(xn)=(alpha+beta)xn=(alpha xn+beta xn)=(alpha(xn))+l(beta(xn)r)

Passo 5

Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que F(N,R) é um espaço vetorial real.

Resposta

F(N,R) com as operações ponto a ponto é um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados