Denote por
o conjunto das sequências reais. Prove que este conjunto munido das operações
Soma:
e
Produto por escalar:
,
é um espaço vetorial real.
Soma:
Produto por escalar:
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Vamos provar que
, com as operações ponto a ponto, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
. O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: precisamos verificar fechamento, propriedades da soma (associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso aditivo) e propriedades da multiplicação escalar (identidade, associatividade e distributividades).
Passo 2
Mostramos primeiro o fechamento das operações. Sejam
e
em
e
. Então definimos ponto a ponto:
e
$$alpha(x_n)=(\alpha x_n).
$$
Como soma e produto escalar de números reais são reais, ambos resultam em sequências reais, logo o conjunto é fechado sob essas operações.
Como soma e produto escalar de números reais são reais, ambos resultam em sequências reais, logo o conjunto é fechado sob essas operações.
Passo 3
A seguir, verificamos as propriedades da soma. Para quaisquer
:
Associatividade:
Associatividade:
Comutatividade:
Agora, elemento neutro e inverso aditivo. A sequência zero é
com
para todo
. Então
e o inverso de
é
, pois
Passo 4
Restam propriedades da multiplicação escalar. Para
e
em
:
Elemento unitário:
Elemento unitário:
Associatividade escalar:
Distributividade em relação à soma de vetores:
Distributividade em relação à soma de escalares:
Passo 5
Como todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, concluímos que
é um espaço vetorial real.