Calcule a derivada da função
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = e^{2x} \cos x $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é uma técnica para derivar funções formadas pelo produto de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas:
- $ u(x) = e^{2x} $
- $ v(x) = \cos x $
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções separadamente.
-
A derivada de $ u(x) = e^{2x} $ em relação a $ x $ é:Isso porque a derivada de $ e^{kx} $ é $ k e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante.
-
A derivada de $ v(x) = \cos x $ em relação a $ x $ é:Sabemos que a derivada do cosseno é o negativo do seno.
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ f(x) = u(x) v(x) $ é:
Vamos substituir as derivadas que encontramos:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar $ e^{2x} $ para deixar a expressão mais bonita:
Resposta
A derivada de $ f(x) = e^{2x} \cos x $ é: