Calcule a derivada da função f(x)=e^2 x cos x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = e^{2x} \cos x $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de funções que são produtos de duas funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que é uma técnica para derivar funções formadas pelo produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas:
  • $ u(x) = e^{2x} $
  • $ v(x) = \cos x $

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de cada uma dessas funções separadamente.
  • A derivada de $ u(x) = e^{2x} $ em relação a $ x $ é:
    u(x) = e^2x
    Isso porque a derivada de $ e^{kx} $ é $ k e^{kx} $, onde $ k $ é uma constante.
  • A derivada de $ v(x) = \cos x $ em relação a $ x $ é:
    x
    Sabemos que a derivada do cosseno é o negativo do seno.

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ f(x) = u(x) v(x) $ é:
f(x) = u(x) v(x)
Vamos substituir as derivadas que encontramos:
f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

Passo 5

Simplificando a expressão:
f'(x) = 2 e^2x cos x - e^2x sin x
Podemos fatorar $ e^{2x} $ para deixar a expressão mais bonita:
e^2x

Resposta

A derivada de $ f(x) = e^{2x} \cos x $ é:
f(x) = e^2x cos x

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