Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
; círculo
Passo 1
O exercício pede os extremos da função
sujeita à curva
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, indicado para otimização com restrição.
Passo 2
Montamos o Lagrangiano:
E calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Da primeira condição temos
, ou seja,
ou
. Da segunda, obtemos
.
Passo 4
Analisando os casos:
- Caso
: da restrição segue . - Caso
: igualando dá , que na restrição gera sem solução real.
Passo 5
Os pontos críticos sobre o círculo são
e
. Calculando
: em
temos
e em
temos
. Como o círculo é compacto, esses são os extremos globais.
Resposta
O máximo global é
em
e o mínimo global é
em
.