Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=x^33+y; círculo x^2+y^2=1

Passo 1

O exercício pede os extremos da função f(x,y)=x^33+y sujeita à curva x^2+y^2=1. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, indicado para otimização com restrição.

Passo 2

Montamos o Lagrangiano:
L(x,y,lambda)=x^33+y - lambdal(x^2+y^2-1r)
E calculamos as derivadas parciais:
partial Lpartial x=x^2-2lambda x=0,
partial Lpartial y=1-2lambda y=0,
partial Lpartial lambda=-(x^2+y^2-1)=0

Passo 3

Da primeira condição temos x(x-2lambda)=0, ou seja, x=0 ou lambda=tfracx2. Da segunda, obtemos lambda=tfrac12y.

Passo 4

Analisando os casos:
  • Caso x=0: da restrição y^2=1 segue y=pm1.
  • Caso xneq0: igualando tfracx2=tfrac12y xy=1, que na restrição gera y^4 - y^2 +1=0 sem solução real.

Passo 5

Os pontos críticos sobre o círculo são (0,1) e (0,-1). Calculando f: em (0,1) temos f=1 e em (0,-1) temos f=-1. Como o círculo é compacto, esses são os extremos globais.

Resposta

O máximo global é 1 em (0,1) e o mínimo global é -1 em (0,-1).

Exercícios relacionados