Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
f(x, y)=6 x-5 x y; elipse x^2+y^24=1

Passo 1

A função dada é f(x,y)=6x-5xy e a curva é a elipse x^2+tfracy^24=1. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f e do lado esquerdo da restrição g(x,y)=x^2+tfracy^24-1=0:
nabla f=(6-5y,,-5x), nabla g=(2x,,y/2)

Passo 3

Pela condição de Lagrange deve valer nabla f=lambdanabla g, i.e.:
6-5y=2lambda x, -5x=tfraclambda y2, x^2+tfracy^24=1

Passo 4

Da segunda equação, para yneq0, temos:
lambda=-10xy
Substituindo na primeira:
y(6-5y)=-20x^2
Usando a restrição x^2=1-tfracy^24
6y-5y^2+20l(1-tfracy^24r)=0
que simplifica para
5y^2-3y-10=0

Passo 5

Resolvendo 5y^2-3y-10=0 obtemos
y=3pmraiz20910
Para cada valor de y, calculamos
x=pmraiz1-tfracy^24

Passo 6

Há, portanto, quatro pontos críticos. Calculamos f(x,y)=x(6-5y) nesses pontos e obtemos os valores aproximados:
fapprox 9.613, 1.332, -1.332, -9.613

Passo 7

Comparando, o valor máximo absoluto é fmaxapprox9.613 no ponto
(x,y)approx(0.8198,-1.1457),
e o mínimo absoluto é fminapprox-9.613 no ponto
(x,y)approx(-0.8198,-1.1457)

Resposta

Máximo absoluto: f_{max}\approx9.613 em (x,y)\approx(0.8198,-1.1457). Mínimo absoluto: f_{min}\approx-9.613 em (x,y)\approx(-0.8198,-1.1457).

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