Determine os máximos e mínimos da função f na curva dada
; elipse
Passo 1
A função dada é
e a curva é a elipse
. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
e do lado esquerdo da restrição
:
Passo 3
Pela condição de Lagrange deve valer
, i.e.:
Passo 4
Da segunda equação, para
, temos:
Substituindo na primeira:
Usando a restrição
dá
que simplifica para
Passo 5
Resolvendo
obtemos
Para cada valor de
, calculamos
Passo 6
Há, portanto, quatro pontos críticos. Calculamos
nesses pontos e obtemos os valores aproximados:
Passo 7
Comparando, o valor máximo absoluto é
no ponto
e o mínimo absoluto é
no ponto
Resposta
Máximo absoluto: f_{max}\approx9.613 em (x,y)\approx(0.8198,-1.1457). Mínimo absoluto: f_{min}\approx-9.613 em (x,y)\approx(-0.8198,-1.1457).