Calcule a derivada da função F(t)=\left(t^{2}-2 t+1\right)\left(2 t^{2}+3 t\right). Simplifique o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função F(t)=\left(t^{2}-2t+1\right)\left(2t^{2}+3t\right) e pede para calcular a derivada F'(t). O resultado deve ser simplificado.

Passo 2

Antes de derivar, vamos recordar as regras que vamos usar (com exemplos curtos e leves):
  • Regra da potência: a derivada de \,t^{n}\, é \,n t^{n-1}\,. Ex.: a derivada de \,t^{3}\, é \,3t^{2}.
  • Derivada de soma/constante: a derivada de \,a+b\, é \,a'+b', e a derivada de uma constante é 0.
  • Regra do produto: se F(t)=u(t)\,v(t), então
F'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Vou usar exatamente essa regra aqui, porque F é produto de duas funções.

Passo 3

Identifico as duas funções que se multiplicam:
u(t)=t^{2}-2t+1,\qquad v(t)=2t^{2}+3t.

Passo 4

Calculo u'(t) passo a passo usando a regra da potência e linearidade:
  • derivada de t^{2} é 2t,
  • derivada de -2t é -2,
  • derivada de 1 é 0.
    Portanto
u'(t)=2t-2.

Passo 5

Calculo v'(t) passo a passo:
  • derivada de 2t^{2}: o 2 é constante multiplicando t^{2}, então dá 2\cdot 2t=4t,
  • derivada de 3t é 3.
    Portanto
v'(t)=4t+3.

Passo 6

Aplico a regra do produto:
F'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v' que já calculamos,
F'(t)=(2t-2)(2t^{2}+3t)+(t^{2}-2t+1)(4t+3).

Passo 7

Agora faço as multiplicações (expansões) com calma.
Primeiro termo:
(2t-2)(2t^{2}+3t)
Multiplicando termo a termo:
2t\cdot 2t^{2}=4t^{3},\quad 2t\cdot 3t=6t^{2},\quad -2\cdot 2t^{2}=-4t^{2},\quad -2\cdot 3t=-6t.
Somando:
(2t-2)(2t^{2}+3t)=4t^{3}+2t^{2}-6t.
Segundo termo:
(t^{2}-2t+1)(4t+3)
Multiplicando termo a termo:
t^{2}\cdot 4t=4t^{3},\quad t^{2}\cdot 3=3t^{2},
-2t\cdot 4t=-8t^{2},\quad -2t\cdot 3=-6t,
1\cdot 4t=4t,\quad 1\cdot 3=3.
Somando:
(t^{2}-2t+1)(4t+3)=4t^{3}-5t^{2}-2t+3.

Passo 8

Somando os dois resultados obtidos:
F'(t)=(4t^{3}+2t^{2}-6t)+(4t^{3}-5t^{2}-2t+3).
Agrupando termos semelhantes:
F'(t)=8t^{3}-3t^{2}-8t+3.

Passo 9

Podemos também fatorar o polinômio final para uma forma mais compacta. Primeiro verifico raízes simples: substituindo t=1 obtém-se 8-3-8+3=0, logo t-1 é fator. Dividindo o polinômio por t-1 (ou fazendo decomposição), obtém-se
8t^{3}-3t^{2}-8t+3=(t-1)(8t^{2}+5t-3).
E o quadrático fatora como (8t-3)(t+1). Assim a fatoração completa é
F'(t)=(t-1)(8t-3)(t+1).

Resposta

F'(t)=8t^{3}-3t^{2}-8t+3 = (t-1)(8t-3)(t+1)

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