Calcule a derivada da função
. Simplifique o resultado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. O resultado deve ser simplificado.
Passo 2
Antes de derivar, vamos recordar as regras que vamos usar (com exemplos curtos e leves):
- Regra da potência: a derivada de
é . Ex.: a derivada de é . - Derivada de soma/constante: a derivada de
é , e a derivada de uma constante é . - Regra do produto: se
, então
Vou usar exatamente essa regra aqui, porque
é produto de duas funções.
Passo 3
Identifico as duas funções que se multiplicam:
Passo 4
Calculo
passo a passo usando a regra da potência e linearidade:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Passo 5
Calculo
passo a passo:
- derivada de
: o é constante multiplicando , então dá , - derivada de
é .
Portanto
Passo 6
Aplico a regra do produto:
Substituindo
que já calculamos,
Passo 7
Agora faço as multiplicações (expansões) com calma.
Primeiro termo:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Segundo termo:
Multiplicando termo a termo:
Somando:
Passo 8
Somando os dois resultados obtidos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 9
Podemos também fatorar o polinômio final para uma forma mais compacta. Primeiro verifico raízes simples: substituindo
obtém-se
, logo
é fator. Dividindo o polinômio por
(ou fazendo decomposição), obtém-se
E o quadrático fatora como
. Assim a fatoração completa é