Calcule a derivada da função:
f(x)=raizx^3+1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia porque temos uma função composta (uma raiz quadrada que envolve um polinômio). Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções básicas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como uma potência:
f(x) = (x^3 + 1)^12
Isso vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. A regra diz que a derivada de ddu u^12 = 12u^-12 é .
No nosso caso:
  • A parte externa é , onde .
  • A parte interna é .
Primeiro, derivamos a parte externa em relação a :

Passo 4

Depois, derivamos a parte interna em relação a ddx (x^3 + 1) = 3x^2 :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que calculamos:
f'(x) = 12(x^3 + 1)^-12 cdot 3x^2

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
f'(x) = 3x^22(x^3 + 1)^12
Ou, de forma equivalente:
f'(x) = 3x^22raizx^3 + 1

Resposta

A derivada da função f'(x) = 3x^22raizx^3 + 1 é:

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