Use derivação implícita para obter
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando derivação implícita. Derivação implícita é uma técnica que usamos quando
não está isolado, ou seja, está misturado com
na equação. Para resolver isso, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação:
Para derivar isso, precisamos usar a regra da cadeia e a regra do poder. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde temos
.
Vamos derivar termo a termo:
-
Derivada de
: - Usamos a regra do poder:
, onde e . - Então, a derivada fica:
.
- Usamos a regra do poder:
-
Derivada de
: - Derivada de
em relação a é (porque é função de ). - Derivada de
em relação a é . - Então,
.
- Derivada de
-
Derivada de
: - Simplesmente,
.
- Simplesmente,
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, derivamos o lado direito da equação, que é 0. A derivada de uma constante é 0.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Primeiro, adicionamos 4 aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 5
Finalmente, isolamos
subtraindo 3 de ambos os lados:
Para deixar a resposta mais elegante, podemos combinar os termos:
Mas geralmente, fica melhor deixar como:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: