Use derivação implícita para obter d y / d x.
(y+3 x)^2-4 x=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
(y + 3x)^2 - 4x = 0
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. Derivação implícita é uma técnica que usamos quando não está isolado, ou seja, está misturado com na equação. Para resolver isso, vamos derivar ambos os lados da equação com relação a , lembrando que é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o lado esquerdo da equação:
(y + 3x)^2 - 4x
Para derivar isso, precisamos usar a regra da cadeia e a regra do poder. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde temos 2(y + 3x)(dydx + 3) - 4.
Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra do poder: , onde e .
    • Então, a derivada fica: .
  2. Derivada de :
    • Derivada de em relação a é (porque é função de ).
    • Derivada de em relação a é .
    • Então, .
  3. Derivada de :
    • Simplesmente, .
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, derivamos o lado direito da equação, que é 0. A derivada de uma constante é 0.
Então, temos:
2(y + 3x)(dydx + 3) - 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 2(y + 3x)(dydx + 3) = 4.
Primeiro, adicionamos 4 aos dois lados:
dydx + 3 = 42(y + 3x)
Agora, dividimos ambos os lados por dydx + 3 = 2y + 3x:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, isolamos dydx = 2y + 3x - 3 subtraindo 3 de ambos os lados:
dydx = 2 - 3(y + 3x)y + 3x
Para deixar a resposta mais elegante, podemos combinar os termos:
dydx = 2y + 3x - 3
Mas geralmente, fica melhor deixar como:

Resposta

A derivada de dydx = 2y + 3x - 3 em relação a é:

Exercícios relacionados