Sejam os vetores não nulos e escalares . Mostre que
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos provar que para quaisquer vetores não nulos valem as igualdades . O conteúdo envolve produto vetorial, produto interno e propriedades do produto misto (determinante).
Passo 2
Vamos definir o produto misto como
Isso mostra que [u,v,w] é igual a lang<= utimes v, wrang<= e liga o produto misto à determinante.
Passo 3
A determinante em R^3 é invariante por permutação cíclica das colunas, isto é,
det(u,v,w) = det(v,w,u) = det(w,u,v)
Como lang<= utimes v, wrang<= = [u,v,w] = det(u,v,w), pela comutatividade do produto interno obtemos lang<= utimes v, wrang<= = lang<= vtimes w, urang<= = lang<= u, vtimes wrang<=, estabelecendo a primeira igualdade.
Passo 4
A troca de duas colunas de uma determinante inverte o sinal. Assim,
det(v,u,w) = -det(u,v,w)
Mas lang<= v, utimes wrang<= = [v,u,w] = det(v,u,w), logo lang<= v, utimes wrang<= = -lang<= utimes v, wrang<=, ou seja lang<= utimes v, wrang<= = -lang<= v, utimes wrang<=, provando a segunda igualdade.