Sejam os vetores não nulos u, v, w in R^3 e escalares alpha, beta in R. Mostre que
lang<= u times v, wrang<==lang<= u, v times wrang<==-lang<= v, u times wrang<=

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos provar que para quaisquer vetores não nulos u,v,winR^3 valem as igualdades lang<= utimes v, wrang<==lang<= u, vtimes wrang<==-lang<= v, utimes wrang<=. O conteúdo envolve produto vetorial, produto interno e propriedades do produto misto (determinante).

Passo 2

Vamos definir o produto misto como
[u,v,w] = lang<= u times v, wrang<= = det u1 & v1 & w1 u2 & v2 & w2 u3 & v3 & w3
Isso mostra que [u,v,w] é igual a lang<= utimes v, wrang<= e liga o produto misto à determinante.

Passo 3

A determinante em R^3 é invariante por permutação cíclica das colunas, isto é,
det(u,v,w) = det(v,w,u) = det(w,u,v)
Como lang<= utimes v, wrang<= = [u,v,w] = det(u,v,w), pela comutatividade do produto interno obtemos
lang<= utimes v, wrang<= = lang<= vtimes w, urang<= = lang<= u, vtimes wrang<=, estabelecendo a primeira igualdade.

Passo 4

A troca de duas colunas de uma determinante inverte o sinal. Assim,
det(v,u,w) = -det(u,v,w)
Mas lang<= v, utimes wrang<= = [v,u,w] = det(v,u,w), logo
lang<= v, utimes wrang<= = -lang<= utimes v, wrang<=, ou seja lang<= utimes v, wrang<= = -lang<= v, utimes wrang<=, provando a segunda igualdade.

Resposta

lang<= utimes v, wrang<= = lang<= u, vtimes wrang<= = -lang<= v, utimes wrang<=

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