Calcule a derivada da função f(x)=sen^-1 3 x. (Pesquise sobre derivadas das funções trigonométricas inversas)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=sin^-1(3x). O conteúdo é derivada de funções trigonométricas inversas, e vamos precisar usar a fórmula da derivada de arcsin(u) junto com a regra da cadeia.

Passo 2

A teoria diz que, para uma função u(x), vale:
ddxl(sin^-1(u)r)=u'(x)raiz1-[u(x)]^2
Isso acontece porque diferenciamos a função externa sin^-1(u) em relação a u e depois multiplicamos por u'(x).
Aqui temos u(x)=3x, então calculamos u'(x)=3.

Passo 3

Substituindo na fórmula geral, obtemos:
f'(x)=3raiz1-(3x)^2=3raiz1-9x^2

Passo 4

É importante observar que essa derivada só faz sentido para |3x|<=1, ou seja, xin[-1/3,1/3].

Resposta

f'(x)=dfrac3raiz1-9x^2

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