Calcule, usando a regra da substituição, a antiderivada
[
\int \frac{x^{2} d x}{\left(4 x{3}+1\right){7}}

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^2(4x^3+1)^7,dx usando a regra da substituição. O conteúdo principal é integração de potências via mudança de variável, e vamos precisar identificar uma função interna cuja derivada apareça multiplicando.

Passo 2

Observando o denominador (4x^3+1)^7, escolhemos u = 4x^3 + 1. Tomando derivada, temos
du = 12x^2,dx
Logo, podemos isolar x^2,dx como x^2,dx = tfrac112,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral x^2(4x^3+1)^7,dx = integral 1u^7 cdot 112,du = 112 integral u^-7,du

Passo 4

Agora integramos a potência de u. Como integral u^n,du = u^n+1n+1 + C, temos
112 integral u^-7,du = 112 cdot u^-6-6 + C = -172 u^-6 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = 4x^3 + 1. Assim, a antiderivada é
-172 (4x^3+1)^6 + C

Resposta

-\frac{1}{72(4x{3}+1){6}} + C

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