Calcule
[
\int(\sqrt{2 x}+2 x \sqrt{x}+1 / \sqrt{x}) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de uma expressão que envolve raízes e potências de $ x $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções polinomiais e de raízes. Para resolver, vamos precisar simplificar cada termo da função antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo da integral usando potências de $ x $ para facilitar a integração. Lembre-se que x é o mesmo que $ x^{1/2} $ e $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ é $ x^{-1/2} $.
Então, temos:
raizx
x^1/2
1raizx

Passo 3

Agora, substituímos esses valores na integral original:
integral ( raiz2 cdot x^1/2 + 2x^3/2 + x^-1/2 ) dx

Passo 4

Vamos lembrar da regra básica de integração para potências de $ x $:
x
onde $ n \neq -1 $ e $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando a regra de integração a cada termo:
  1. Para $ \sqrt{2} \cdot x^{1/2} $:
raiz2 cdot x^1/2
  1. Para $ 2x^{3/2} $:
integral raiz2 cdot x^1/2 , dx = raiz2 cdot x^1/2 + 11/2 + 1 = raiz2 cdot x^3/23/2 = 2raiz23 x^3/2
  1. Para $ x^{-1/2} $:
2x^3/2

Passo 6

Agora, juntamos todos os resultados:
2raiz23 x^3/2 + 45 x^5/2 + 2x^1/2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a
2raiz23 x^3/2 + 45 x^5/2 + 2x^1/2 + C

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