Calcule
[
\int(\sqrt{2 x}+2 x \sqrt{x}+1 / \sqrt{x}) d x
\int(\sqrt{2 x}+2 x \sqrt{x}+1 / \sqrt{x}) d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de uma expressão que envolve raízes e potências de $ x $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções polinomiais e de raízes. Para resolver, vamos precisar simplificar cada termo da função antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada termo da integral usando potências de $ x $ para facilitar a integração. Lembre-se que
é o mesmo que $ x^{1/2} $ e $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ é $ x^{-1/2} $.
Então, temos:
Passo 3
Agora, substituímos esses valores na integral original:
Passo 4
Vamos lembrar da regra básica de integração para potências de $ x $:
onde $ n \neq -1 $ e $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando a regra de integração a cada termo:
- Para $ \sqrt{2} \cdot x^{1/2} $:
- Para $ 2x^{3/2} $:
- Para $ x^{-1/2} $:
Passo 6
Agora, juntamos todos os resultados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a