Calcule a derivada da função:
f(x)=sen^2(x)e^x+x^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso envolve usar algumas regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia. A gente vai precisar identificar as partes dessa fração e derivar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes principais da nossa função, que chamamos de e :

Passo 3

Agora, vamos derivar u'(x) = 2sin(x) cdot cos(x) . Aqui, usamos a regra da cadeia, que é necessária quando temos uma função composta, como .
Isso porque a derivada de é e multiplicamos pela derivada da potência.

Passo 4

Em seguida, vamos derivar v'(x) = e^x + 2x . Cada termo é derivado separadamente:
A derivada de é e a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente para derivar f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 :
f'(x) = 2sin(x)cos(x) cdot (e^x + x^2) - sin^2(x) cdot (e^x + 2x)(e^x + x^2)^2
Substituindo , , e na fórmula:

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 2sin(x)cos(x)(e^x + x^2) - sin^2(x)(e^x + 2x)(e^x + x^2)^2

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