Use derivação implícita para obter d y / d x.
x^4+4 x^3 y+y^4=1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de derivação implícita. A questão nos dá a equação e pede para encontrar . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde y está misturado com x.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivando ddx(x^4) = 4x^3 :
ddx(4x^3 y) = 4 (3x^2 y + x^3 dydx)
  1. Derivando ddx(y^4) = 4y^3 dydx :
ddx(1) = 0
Aqui usamos a regra do produto: derivada de é .
  1. Derivando :
  1. Derivando o lado direito, que é 1:

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas, temos:
4x^3 + 4(3x^2 y + x^3 dydx) + 4y^3 dydx = 0

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
4x^3 + 12x^2 y + 4x^3 dydx + 4y^3 dydx = 0

Passo 6

Agora, vamos reunir os termos que contêm 4x^3 dydx + 4y^3 dydx = -4x^3 - 12x^2 y de um lado e os demais termos do outro:

Passo 7

Fatorando dydx (4x^3 + 4y^3) = -4x^3 - 12x^2 y no lado esquerdo:

Passo 8

Finalmente, isolamos dydx = -4x^3 - 12x^2 y4x^3 + 4y^3 dividindo ambos os lados pela expressão :

Resposta

dydx = -4x^3 - 12x^2 y4x^3 + 4y^3 = -x^3 - 3x^2 yx^3 + y^3

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