Calcule a derivada da função f(x)=(sen x+e^x)^2(cos x+x^3)^3 no ponto x0=0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(sin x + e^xr)^2,l(cos x + x^3r)^3
no ponto x0=0. O conteúdo envolve aplicação da regra do produto juntamente com a regra da cadeia, já que temos funções elevadas a potências. Precisamos definir funções auxiliares, calcular suas derivadas e depois aplicar essas regras.

Passo 2

Definimos
u(x) = sin x + e^x,
v(x) = cos x + x^3
Calculamos as derivadas gerais
u'(x) = cos x + e^x,
v'(x) = -sin x + 3x^2

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a f(x)=u(x)^2,v(x)^3 e a regra da cadeia nas potências:
f'(x) = 2,u(x),u'(x),v(x)^3 ;+; 3,v(x)^2,v'(x),u(x)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=0:
u(0)=sin0+e^0=1, u'(0)=cos0+e^0=2,
v(0)=cos0+0=1, v'(0)=-sin0+3cdot0^2=0
Substituindo em f'(0):
f'(0)=2cdot1cdot2cdot1^3+3cdot1^2cdot0cdot1^2=4

Resposta

4

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