Questão.(5,0 pts) Seja a função
definida por
(a) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
(b) Encontre os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e caso existam, os pontos de inflexão.
(e) Esboce o gráfico de
usando as informações obtidas nos itens anteriores.
(b) Encontre os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e caso existam, os pontos de inflexão.
(e) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
cujo domínio é
.
Vamos encontrar em (a) as assíntotas, em (b) a monotonicidade, em (c) os extremos locais, em (d) a concavidade e pontos de inflexão, e em (e) esboçar o gráfico usando todas essas informações.
Vamos encontrar em (a) as assíntotas, em (b) a monotonicidade, em (c) os extremos locais, em (d) a concavidade e pontos de inflexão, e em (e) esboçar o gráfico usando todas essas informações.
Passo 2
Para achar as assíntotas, primeiro note que há descontinuidade em
, pois o denominador anula-se aí sem cancelamento no numerador. Logo existe assíntota vertical
Para a assíntota horizontal ou oblíqua, dividimos o polinômio:
Como
quando
, não há assíntota horizontal, mas existe assíntota oblíqua
Passo 3
Derivando por quociente,
O denominador é sempre positivo no domínio. Logo o sinal de
vem de
:
- Para
, ⇒ (crescente). - Para
, ⇒ (decrescente), lembrando a ruptura em . - Para
, ⇒ (crescente).
Passo 4
Os pontos críticos são
e
.
- Em
, a derivada vai de positiva (à esquerda) a negativa (à direita), logo há máximo local em com
- Em
, a derivada vai de negativa a positiva, logo há mínimo local em com
Passo 5
Segunda derivada por quociente ou derivando
dá
O sinal de
é negativo para
e positivo para
, de modo que
-
é côncava para baixo em , -
é côncava para cima em .
Como
não pertence ao domínio, não há ponto de inflexão dentro do domínio de
.
Passo 6
Reunindo tudo para esboçar o gráfico:
- Domínio em dois ramos separados por
. - Assíntota vertical
. - Assíntota oblíqua
. - Intercepto em
no ponto , que é máximo local. - Mínimo local em
. - Cresce em
e ; decresce em e . - Côncava para baixo em
e côncava para cima em .
Com isso, basta desenhar cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos críticos.
Resposta
(a) Assíntota vertical
; não há assíntota horizontal; assíntota oblíqua
.
(b) cresce em
e decresce em
.
(c) Máximo local em ; mínimo local em
.
(d) Côncava para baixo em , côncava para cima em
; sem ponto de inflexão no domínio.
(e) Gráfico com dois ramos em torno de , aproximando-se de
e de
, passando pelos pontos
e
.
(b)
(c) Máximo local em
(d) Côncava para baixo em
(e) Gráfico com dois ramos em torno de