^a Questão.(5,0 pts) Seja a função f definida por
f(x)=x^2x-1
(a) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
(b) Encontre os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.
(c) Encontre os valores máximos e mínimos locais.
(d) Encontre os intervalos de concavidade e caso existam, os pontos de inflexão.
(e) Esboce o gráfico de f usando as informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2x-1,
cujo domínio é Rsetminus1.
Vamos encontrar em (a) as assíntotas, em (b) a monotonicidade, em (c) os extremos locais, em (d) a concavidade e pontos de inflexão, e em (e) esboçar o gráfico usando todas essas informações.

Passo 2

Para achar as assíntotas, primeiro note que há descontinuidade em x=1, pois o denominador anula-se aí sem cancelamento no numerador. Logo existe assíntota vertical
x=1
Para a assíntota horizontal ou oblíqua, dividimos o polinômio:
f(x)=x^2x-1 = x+1 + 1x-1
Como 1x-1to0 quando xtopminfty, não há assíntota horizontal, mas existe assíntota oblíqua
y = x + 1

Passo 3

Derivando por quociente,
f'(x) =(2x)(x-1)-x^2cdot1(x-1)^2 =2x^2-2x-x^2(x-1)^2 =x(x-2)(x-1)^2
O denominador é sempre positivo no domínio. Logo o sinal de f'(x) vem de x(x-2):
  • Para x<0, x(x-2)>0 f'>0 (crescente).
  • Para 0<x<2, x(x-2)<0 f'<0 (decrescente), lembrando a ruptura em x=1.
  • Para x>2, x(x-2)>0 f'>0 (crescente).

Passo 4

Os pontos críticos são x=0 e x=2.
  • Em x=0, a derivada vai de positiva (à esquerda) a negativa (à direita), logo há máximo local em x=0 com
f(0)=0^20-1=0
  • Em x=2, a derivada vai de negativa a positiva, logo há mínimo local em x=2 com
f(2)=2^22-1=4

Passo 5

Segunda derivada por quociente ou derivando f'(x)=x(x-2)/(x-1)^2
f''(x)=2(x-1)^3
O sinal de f''(x) é negativo para x<1 e positivo para x>1, de modo que
  • f é côncava para baixo em (-infty,1),
  • f é côncava para cima em (1,infty).
Como x=1 não pertence ao domínio, não há ponto de inflexão dentro do domínio de f.

Passo 6

Reunindo tudo para esboçar o gráfico:
  • Domínio em dois ramos separados por x=1.
  • Assíntota vertical x=1.
  • Assíntota oblíqua y=x+1.
  • Intercepto em x=0 no ponto (0,0), que é máximo local.
  • Mínimo local em (2,4).
  • Cresce em (-infty,0) e (2,infty); decresce em (0,1) e (1,2).
  • Côncava para baixo em (-infty,1) e côncava para cima em (1,infty).
Com isso, basta desenhar cada ramo aproximando-se das assíntotas e passando pelos pontos críticos.

Resposta

(a) Assíntota vertical x=1; não há assíntota horizontal; assíntota oblíqua y=x+1.
(b) f cresce em (-infty,0)cup(2,infty) e decresce em (0,1)cup(1,2).
(c) Máximo local em (0,0); mínimo local em (2,4).
(d) Côncava para baixo em (-infty,1), côncava para cima em (1,infty); sem ponto de inflexão no domínio.
(e) Gráfico com dois ramos em torno de x=1, aproximando-se de x=1 e de y=x+1, passando pelos pontos (0,0) e (2,4).

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