Uma população de algas cresce de acordo com a função G(x)=-0,5 x^2+4 x, onde G(x) é a taxa de crescimento (em milhares por semana) e x é a densidade atual da população (milhares).
(a) Para qual densidade x a taxa de crescimento é máxima?
(b) Qual é o valor máximo da taxa de crescimento?
(c) Para quais valores de x a taxa de crescimento é nula?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de crescimento de uma população de algas por
G(x) = -0,5,x^2 + 4,x,
onde x (em milhares) é a densidade da população e G(x) (em milhares por semana) é a taxa de crescimento. Para resolver a questão, vamos usar cálculo de derivadas para achar o máximo de uma parábola côncava para baixo e fatoração para encontrar onde G(x)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de G para achar o ponto crítico que pode ser máximo:
G'(x) = ddxl(-0,5,x^2 + 4,xr) = -1,x + 4
Impondo G'(x)=0 obtemos
-,x + 4 = 0 Longrightarrow x = 4
Como a segunda derivada
G''(x) = ddx(-,x+4) = -1
é negativa, esse ponto é de fato um máximo.

Passo 3

O valor máximo de G(x) ocorre em x=4. Substituindo em G:
G(4) = -0,5,(4)^2 + 4,(4) = -0,5cdot16 + 16 = -8 + 16 = 8

Passo 4

Para achar onde a taxa de crescimento é nula, resolvemos
G(x) = -0,5,x^2 + 4,x = 0
Fatorando x:
xl(-0,5,x + 4r) = 0 Longrightarrow x = 0 ou -0,5,x + 4 = 0 ,Longrightarrow, x = 8

Resposta

(a) x = 4 (milhares)
(b) Gmax = 8 (milhares por semana)
(c) x = 0 e x = 8 (milhares)

Exercícios relacionados