Uma população de algas cresce de acordo com a função
, onde
é a taxa de crescimento (em milhares por semana) e
é a densidade atual da população (milhares).
(a) Para qual densidade
a taxa de crescimento é máxima?
(b) Qual é o valor máximo da taxa de crescimento?
(c) Para quais valores de
a taxa de crescimento é nula?
(a) Para qual densidade
(b) Qual é o valor máximo da taxa de crescimento?
(c) Para quais valores de
Passo 1
O enunciado dá a taxa de crescimento de uma população de algas por
onde
(em milhares) é a densidade da população e
(em milhares por semana) é a taxa de crescimento. Para resolver a questão, vamos usar cálculo de derivadas para achar o máximo de uma parábola côncava para baixo e fatoração para encontrar onde
.
Passo 2
Calculamos a derivada de
para achar o ponto crítico que pode ser máximo:
Impondo
obtemos
Como a segunda derivada
é negativa, esse ponto é de fato um máximo.
Passo 3
O valor máximo de
ocorre em
. Substituindo em
:
Passo 4
Para achar onde a taxa de crescimento é nula, resolvemos
Fatorando
:
Resposta
(a)
(milhares)
(b) (milhares por semana)
(c) e
(milhares)
(b)
(c)