Calcule a derivada da função f(x)=t g^-1 x5. (Pesquise sobre derivadas das funções trigonométricas inversas)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=tan^-1l(tfracx5r). O conteúdo aqui é derivada de funções trigonométricas inversas, em especial a derivada de arctan(u), e vamos precisar usar a regra da cadeia.

Passo 2

Para derivar arctan(u), lembramos que tfracddul[arctan(u)r]=tfrac11+u^2.

Passo 3

Identificamos a parte interna u(x)=tfracx5. Então sua derivada é u'(x)=tfracddxl[tfracx5r]=tfrac15.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=ddxl[arctan(u(x))r] =11+l(u(x)r)^2cdot u'(x) =11+l(tfracx5r)^2cdot15

Passo 5

Simplificando o denominador:
1+l(tfracx5r)^2=1+x^225=25+x^225,

Passo 6

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f'(x)=1/5(25+x^2)/25=255,(25+x^2)=525+x^2

Resposta

f'(x)=525+x^2

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