Determine o dominio das seguintes funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função $ f(x) = \sqrt[8]{|x| - x} $. Isso significa descobrir todos os valores de $ x $ que a função pode assumir sem ficar com resultados impossíveis, como raízes de números negativos quando não dá para ter. Para resolver isso, vamos analisar a expressão dentro da raiz e ver quais valores de $ x $ tornam tudo válido.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro da raiz: $ |x| - x $. A raiz que estamos lidando é uma raiz oitava, que é uma raiz par. Quando a gente tem uma raiz par, o que está dentro precisa ser maior ou igual a zero porque não dá para tirar raiz par de número negativo no conjunto dos reais.
Então, temos que:
|x| - x
Agora, vamos resolver essa desigualdade considerando dois casos para o valor absoluto de $ x $, já que $ |x| $ muda dependendo se $ x $ é positivo ou negativo.

Passo 3

Caso 1: $ x $ é positivo ou zero ($ x \geq 0 $)
Quando $ x \geq 0 $, o valor absoluto de $ x $ é simplesmente $ x $. Então:
x
Isso satisfaz a condição $ 0 \geq 0 $, que é verdadeira. Ou seja, todos os valores de $ x \geq 0 $ estão no domínio.
Caso 2: $ x $ é negativo ($ x < 0 $)
Quando $ x < 0 $, o valor absoluto de $ x $ é $ -x $. Então:
x >= 0
Já que $ x < 0 $, o termo $ -2x $ será positivo, porque multiplicar um número negativo por um negativo dá positivo:
x >= 0
Portanto, para $ x < 0 $, a expressão $ |x| - x $ é maior que zero, o que também satisfaz a condição da raiz.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \sqrt[8]{|x| - x} $ é todos os números reais, ou seja:
f(x) = raiz[8]|x| - x

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