Derive a função f(x)=(ln x)^x x^ln x :
Escolha uma opção:
f^prime(x)=(x^ln x+1)(1x+ln x-2 ln xx)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=(ln x)^x x^ln x, que envolve exponenciais e logaritmos e vamos usar o truque de derivar o logaritmo para simplificar.

Passo 2

Começamos definindo y=f(x) e tomando ln dos dois lados para usar derivada logarítmica:
ln y = xln(ln x) + (ln x)^2

Passo 3

Agora derivamos cada termo em relação a x:
  • Derivada de xln(ln x) é ln(ln x) + xcdot1ln xcdot1x = ln(ln x) + 1ln x
  • Derivada de (ln x)^2 é 2ln xcdot1x = 2ln xx
    Logo,
ddxln y = ln(ln x) + 1ln x + 2ln xx

Passo 4

Em seguida aplicamos y'=ycdot(ln y)', obtendo
$$f’(x)=y’= (
abla)=(\ln x)^x x^{\ln x}\Bigl(\ln(\ln x)+\frac{1}{\ln x}+\frac{2\ln x}{x}\Bigr).$$

Passo 5

Comparando com a opção dada, que é
f'(x)=x^ln x+1l(tfrac1x+ln x-tfrac2ln xxr),
vemos que não coincide com o nosso resultado, então essa opção está incorreta.

Resposta

A opção apresentada está errada. A derivada correta é:
f'(x)=(ln x)^x x^ln xl(ln(ln x)+tfrac1ln x+tfrac2ln xxr)

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