Calcule a derivada da função g(x)=sen^3(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \sin^{3}(x) $. Isso envolve o estudo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identifique a função composta aqui. Temos $ \sin^{3}(x) $, que pode ser vista como $ [\sin(x)]^{3} $. Aqui, a função interna é $ \sin(x) $ e a função externa é a função potência, onde elevamos a função interna ao cubo.

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é a derivada de $ f $ em relação a $ g(x) $ vezes a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $. Matemáticamente, isso fica:
f(g(x))

Passo 4

Aplicando isso à nossa função:
  1. Função externa: $ f(u) = u^{3} $, onde $ u = \sin(x) $.
  2. Derivada da função externa: $ f’(u) = 3u^{2} $.
  3. Derivada da função interna: $ \frac{du}{dx} = \cos(x) $.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na Regra da Cadeia:
g'(x) = f'(u) cdot dudx = 3u^2 cdot cos(x) = 3sin^2(x) cdot cos(x)

Resposta

A derivada da função $ g(x) = \sin^{3}(x) $ é:
g(x) = sin^3(x)

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