Calcule a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função $ g(x) = \sin^{3}(x) $. Isso envolve o estudo de derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, identifique a função composta aqui. Temos $ \sin^{3}(x) $, que pode ser vista como $ [\sin(x)]^{3} $. Aqui, a função interna é $ \sin(x) $ e a função externa é a função potência, onde elevamos a função interna ao cubo.
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta $ f(g(x)) $ é a derivada de $ f $ em relação a $ g(x) $ vezes a derivada de $ g(x) $ em relação a $ x $. Matemáticamente, isso fica:
Passo 4
Aplicando isso à nossa função:
- Função externa: $ f(u) = u^{3} $, onde $ u = \sin(x) $.
- Derivada da função externa: $ f’(u) = 3u^{2} $.
- Derivada da função interna: $ \frac{du}{dx} = \cos(x) $.
Passo 5
Agora, substituímos de volta na Regra da Cadeia:
Resposta
A derivada da função $ g(x) = \sin^{3}(x) $ é: