Problema 2. Encontre a solução geral
das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que pede para encontrar a solução geral da equação diferencial $ y’ = \frac{x^2}{y} $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação $ y’ = \frac{x^2}{y} $ nos diz. O $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, como $ y $ muda quando $ x $ muda. A equação está dizendo que essa taxa de variação é igual a $ \frac{x^2}{y} $.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma função $ y(x) $ que satisfaça essa equação. Para isso, vamos tentar separar as variáveis, ou seja, deixar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro lado.
Começamos multiplicando ambos os lados por $ y $ para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, expressamos $ y \cdot y’ $ de uma forma que nos ajude a integrar. Sabemos que $ y \cdot y’ = \frac{1}{2} \frac{d}{dx} (y^2) $. Isso é resultado da regra da cadeia na derivação.
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $ para eliminar a derivada:
Integrando, obtemos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para $ y^2 $ multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos simplificar a constante $ 2C $ apenas chamando de $ C $, já que é uma constante arbitrária.
Então:
Passo 7
Por fim, para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial $ y’ = \frac{x^2}{y} $ é:
Onde $ C $ é uma constante real.