- Calcule a derivada da função
usando as duas expressões acima. As expressões são iguais? Converta a expressão final em uma função de
e
usando o slide 13.
Passo 1
O enunciado dá a função complexa escrita em termos de
e
:
O que é pedido:
- Calcular a derivada
usando as duas expressões (as duas fórmulas clássicas que se usam quando se tem ): -
, e -
.
-
- Verificar se as duas expressões dão o mesmo resultado.
- Converter a expressão final de
numa função de e (usando as relações padrão e ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias (lembrando: ao calcular
tratamos
como constante; ao calcular
tratamos
como constante).
Derivadas parciais de
:
Derivadas parciais de
:
Explicação rápida (didática): quando faço
em
,
é constante, então resulta
. Quando faço
em
aparece zero porque
é constante nessa derivação.
Passo 3
Antes de usar as fórmulas para
, verificar as condições de Cauchy–Riemann (isso garante que ambas as expressões para
são válidas e iguais). As condições são:
Substituindo:
Portanto as condições de Cauchy–Riemann valem para todos os pontos, logo
é holomorfa (diferenciável complexamente) em toda a parte e podemos usar as duas fórmulas com segurança: elas devem dar o mesmo resultado.
Passo 4
Usar a primeira expressão
.
Substituindo as parciais já calculadas:
Agora fatorizar e reescrever em termos de
. Como
, temos
. Portanto:
Explicação: agrupei
e somei o
que vem do termo
.
Passo 5
Usar a segunda expressão
para checar.
Substituindo as parciais:
Isso é exatamente o mesmo resultado que obtivemos no Passo 4. Portanto as duas expressões são iguais (como esperado, já que as condições de Cauchy–Riemann foram satisfeitas).
Passo 6
Converter a expressão final em função de
e
usando as identidades
Tomando a forma não-fatorada que tínhamos antes:
Substituindo
e
:
Simplificando termo a termo:
Observação didática: aparece
nas substituições, mas ele se cancela algebraicamente, ficando uma função que depende apenas de
. Isso confirma que
é uma função holomorfa (não depende de
).