1. Calcule a derivada da função f(z)=\left(x^{2}-y^{2}+2 x\right)+i(2 x y+2 y) usando as duas expressões acima. As expressões são iguais? Converta a expressão final em uma função de z e z^{*} usando o slide 13.

Passo 1

O enunciado dá a função complexa escrita em termos de x e y:
f(z)=\bigl(x^{2}-y^{2}+2x\bigr)+i\bigl(2xy+2y\bigr).
O que é pedido:
  • Calcular a derivada f'(z) usando as duas expressões (as duas fórmulas clássicas que se usam quando se tem f=u(x,y)+iv(x,y)):
    1. \;f'(z)=u_x+i\,v_x, e
    2. \;f'(z)=v_y-i\,u_y.
  • Verificar se as duas expressões dão o mesmo resultado.
  • Converter a expressão final de f'(z) numa função de z e z^{*} (usando as relações padrão \;x=(z+z^{*})/2 e \;y=(z-z^{*})/(2i)).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \;u(x,y)=x^{2}-y^{2}+2x.
  • Parte imaginária: \;v(x,y)=2xy+2y.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias (lembrando: ao calcular \partial/\partial x tratamos y como constante; ao calcular \partial/\partial y tratamos x como constante).
Derivadas parciais de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}-y^{2}+2x\bigr)=2x+2,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}-y^{2}+2x\bigr)=-2y.
Derivadas parciais de v:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy+2y\bigr)=2y,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy+2y\bigr)=2x+2.
Explicação rápida (didática): quando faço \partial/\partial x em 2xy, y é constante, então resulta 2y. Quando faço \partial/\partial y em x^2 aparece zero porque x é constante nessa derivação.

Passo 3

Antes de usar as fórmulas para f'(z), verificar as condições de Cauchy–Riemann (isso garante que ambas as expressões para f'(z) são válidas e iguais). As condições são:
u_x=v_y \qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Substituindo:
u_x=2x+2,\qquad v_y=2x+2 \quad\Rightarrow\quad u_x=v_y.
u_y=-2y,\qquad v_x=2y \quad\Rightarrow\quad u_y=-v_x.
Portanto as condições de Cauchy–Riemann valem para todos os pontos, logo f é holomorfa (diferenciável complexamente) em toda a parte e podemos usar as duas fórmulas com segurança: elas devem dar o mesmo resultado.

Passo 4

Usar a primeira expressão \;f'(z)=u_x+i\,v_x.
Substituindo as parciais já calculadas:
f'(z)=\bigl(2x+2\bigr)+i\bigl(2y\bigr).
Agora fatorizar e reescrever em termos de z. Como \;z=x+iy, temos \;x+iy=z. Portanto:
f'(z)=2x+2+i\,2y=2\bigl(x+iy+1\bigr)=2\bigl(z+1\bigr).
Explicação: agrupei 2x+i2y=2(x+iy)=2z e somei o +2 que vem do termo +2.

Passo 5

Usar a segunda expressão \;f'(z)=v_y-i\,u_y para checar.
Substituindo as parciais:
f'(z)=\bigl(2x+2\bigr)-i\bigl(-2y\bigr)=2x+2+i\,2y.
Isso é exatamente o mesmo resultado que obtivemos no Passo 4. Portanto as duas expressões são iguais (como esperado, já que as condições de Cauchy–Riemann foram satisfeitas).

Passo 6

Converter a expressão final em função de z e z^{*} usando as identidades
x=\frac{z+z^{*}}{2},\qquad y=\frac{z-z^{*}}{2i}.
Tomando a forma não-fatorada que tínhamos antes:
f'(z)=2x+2+i\,2y.
Substituindo x e y:
f'(z)=2\cdot\frac{z+z^{*}}{2}+2+i\,2\cdot\frac{z-z^{*}}{2i}.
Simplificando termo a termo:
f'(z)=(z+z^{*})+2+(z-z^{*})=2z+2=2(z+1).
Observação didática: aparece z^{*} nas substituições, mas ele se cancela algebraicamente, ficando uma função que depende apenas de z. Isso confirma que f'(z) é uma função holomorfa (não depende de z^{*}).

Resposta

f'(z)=2(z+1)

Exercícios relacionados