1. As funções holomórficas/analíticas têm suas partes real e imaginária “amarradas” pelas equações de CR. Obtenha a função analítica mais geral cuja parte real é u(x, y)=x^{3}-3 x y^{2}. Faça isso usando as equações de CR para obter \partial_{x} v e \partial_{y} v e integrando essas equações.

Passo 1

O enunciado dá a parte real
u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}
e pede: obter a função analítica (holomórfica) mais geral cuja parte real é u. Ou seja, encontrar uma função f da forma f(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y) tal que f seja analítica. Informação relevante fornecida:
  • A função real dada é \;u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}.
  • É pedido usar as equações de Cauchy–Riemann para obter \partial_{x}v e \partial_{y}v e integrar para achar v(x,y) (e assim f).
  • Resultado esperado: a família mais geral de funções holomorfas com parte real igual a u.

Passo 2

Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR) e o que cada derivada significa.
Se f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é holomórfica (analítica) com z=x+iy, então as derivadas parciais de u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
\partial_{x}u=\partial_{y}v \qquad\text{e}\qquad \partial_{y}u=-\partial_{x}v.
Aqui \partial_{x}u é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo), e análogamente para as outras. Essas relações conectam as taxas de variação de u e v e são condição necessária e suficiente (junto com continuidade adequada) para f ser holomórfica.
Antes de integrar, é bom verificar que u é harmônica (condição necessária para ser parte real de uma função holomórfica): calcular \partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u.
Calculemos as derivadas parciais de u.

Passo 3

Calcular \partial_{x}u e \partial_{y}u passo a passo.
Derivando u(x,y)=x^{3}-3xy^{2} em relação a x (tratando y como constante):
\partial_{x}u = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr) = 3x^{2}-3y^{2}.
Derivando u em relação a y:
\partial_{y}u = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr) = -6xy.
Verificação de harmonicidade:
\partial_{x}^{2}u = \partial_{x}(3x^{2}-3y^{2}) = 6x, \qquad \partial_{y}^{2}u = \partial_{y}(-6xy) = -6x,
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\partial_{x}^{2}u+\partial_{y}^{2}u = 6x-6x=0,
portanto u é harmônica, condição coerente com existir v tal que u+iv seja holomórfica.

Passo 4

Usar as equações de Cauchy–Riemann para obter \partial_{x}v e \partial_{y}v.
Das CR:
\partial_{y}v=\partial_{x}u=3x^{2}-3y^{2}, \qquad \partial_{x}v=-\partial_{y}u=-(-6xy)=6xy.
Assim já temos as derivadas parciais de v:
\partial_{x}v=6xy, \qquad \partial_{y}v=3x^{2}-3y^{2}.

Passo 5

Integrar \partial_{x}v em relação a x para obter v(x,y) até uma função arbitrária de y.
Integrando \partial_{x}v=6xy com respeito a x:
v(x,y)=\int 6xy\,dx = 6y\int x\,dx = 6y\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração dependente de y).

Passo 6

Determinar h(y) impondo que \partial_{y}v coincida com o valor já encontrado.
Calcule \partial_{y}v a partir de v(x,y)=3x^{2}y+h(y):
\partial_{y}v = 3x^{2} + h'(y).
Mas sabemos pelas CR que \partial_{y}v deve ser 3x^{2}-3y^{2}. Igualando:
3x^{2}+h'(y)=3x^{2}-3y^{2}.
Cancelando 3x^{2} dos dois lados, obtemos
h'(y)=-3y^{2}.
Integrando em relação a y:
h(y)=\int -3y^{2}\,dy = -y^{3} + C,
onde C é uma constante real (constante de integração).
Portanto
v(x,y)=3x^{2}y - y^{3} + C.

Passo 7

Escrever a função analítica f e dar uma forma mais compacta usando z=x+iy.
A função f com parte real u e parte imaginária v é
f(x,y)=u(x,y)+i\,v(x,y) = \bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr) + i\bigl(3x^{2}y - y^{3} + C\bigr).
Observação elegante: reconhece-se que
(x+iy)^{3} = x^{3}-3xy^{2} + i(3x^{2}y - y^{3}),
logo a expressão acima é exatamente
f(z)=z^{3} + iC,
com z=x+iy e C\in\mathbb{R}. Note que apenas uma constante imaginária iC pode ser adicionada sem alterar a parte real u; não se pode adicionar uma constante real porque isso mudaria u.

Resposta

f(z)=z^{3}+iC,\\ C\in\mathbb{R}

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