- As funções holomórficas/analíticas têm suas partes real e imaginária “amarradas” pelas equações de CR. Obtenha a função analítica mais geral cuja parte real é
. Faça isso usando as equações de CR para obter
e
e integrando essas equações.
Passo 1
O enunciado dá a parte real
e pede: obter a função analítica (holomórfica) mais geral cuja parte real é
. Ou seja, encontrar uma função
da forma
tal que
seja analítica. Informação relevante fornecida:
- A função real dada é
. - É pedido usar as equações de Cauchy–Riemann para obter
e e integrar para achar (e assim ). - Resultado esperado: a família mais geral de funções holomorfas com parte real igual a
.
Passo 2
Lembrete das equações de Cauchy–Riemann (CR) e o que cada derivada significa.
Se
é holomórfica (analítica) com
, então as derivadas parciais de
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo), e análogamente para as outras. Essas relações conectam as taxas de variação de
e
e são condição necessária e suficiente (junto com continuidade adequada) para
ser holomórfica.
Antes de integrar, é bom verificar que
é harmônica (condição necessária para ser parte real de uma função holomórfica): calcular
.
Calculemos as derivadas parciais de .
Calculemos as derivadas parciais de
Passo 3
Calcular
e
passo a passo.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
em relação a
:
Verificação de harmonicidade:
logo
portanto
é harmônica, condição coerente com existir
tal que
seja holomórfica.
Passo 4
Usar as equações de Cauchy–Riemann para obter
e
.
Das CR:
Assim já temos as derivadas parciais de
:
Passo 5
Integrar
em relação a
para obter
até uma função arbitrária de
.
Integrando
com respeito a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração dependente de
).
Passo 6
Determinar
impondo que
coincida com o valor já encontrado.
Calcule
a partir de
:
Mas sabemos pelas CR que
deve ser
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante real (constante de integração).
Portanto
Passo 7
Escrever a função analítica
e dar uma forma mais compacta usando
.
A função
com parte real
e parte imaginária
é
Observação elegante: reconhece-se que
logo a expressão acima é exatamente
com
e
. Note que apenas uma constante imaginária
pode ser adicionada sem alterar a parte real
; não se pode adicionar uma constante real porque isso mudaria
.