Calcule a derivada da função: (Valor 2 Pontos)
f(x)=cos ^3 x+sen^3 x no ponto X0=pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cos³x + sen³x no ponto x₀=π/2. Esse é um problema de derivação de funções compostas envolvendo funções trigonométricas, então vamos precisar da regra da cadeia e das derivadas de cos x e sen x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, escrevemos f(x)= (cos x)³ + (sen x)³ e derivamos cada termo usando que d(u³)/dx = 3u²·u’. Assim,
f'(x)=3cos^2 xcdot(-sin x)+3sin^2 xcdotcos x

Passo 3

Agora simplificamos o resultado:
f'(x)=-3cos^2 x,sin x+3sin^2 x,cos x

Passo 4

Para encontrar o valor em x₀=π/2, lembramos que cos(π/2)=0 e sen(π/2)=1. Substituindo,
f'(tfracpi2)=-3cdot0^2cdot1+3cdot1^2cdot0=0

Resposta

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