Calcule a derivada da seguinte função composta. (Valor 2 Pontos)
f(x)=(x^2+sen 2 x)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função composta do tipo f(x)=[g(x)]^4, onde g(x)=x^2+sin 2x. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que se f(x)=[g(x)]^n, então f'(x)=n [g(x)]^n-1 g'(x).

Passo 2

Precisamos derivar g(x)=x^2+sin 2x. A derivada de x^2 é 2x e a derivada de sin 2x é dado por cos 2x vezes a derivada de 2x, ou seja, 2cos 2x. Assim: g'(x)=2x+2cos 2x

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia temos: f'(x)=4l(x^2+sin 2xr)^3cdotl(2x+2cos 2xr)

Passo 4

Para simplificar, fatoramos 2 dentro do produto 2x+2cos 2x, ficando 2(x+cos 2x). Então: f'(x)=4l(x^2+sin 2xr)^3cdot2l(x+cos 2xr)=8l(x^2+sin 2xr)^3,(x+cos 2x)

Resposta

f'(x)=8,(x^2+sin 2x)^3,(x+cos 2x)

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