Calcule a derivada da função: (Valor 2 Pontos)
f(x)=(sen x+e^x)^2(cos cos x+x^3)^3 no ponto X0=0.

Passo 1

No enunciado, a gente precisa calcular a derivada de
f(x) = (sen x + ex)2·(cos(cos x) + x3)3
e depois avaliar em x0 = 0. O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos definir u(x) = (sen x + ex)2 e v(x) = (cos(cos x) + x3)3, de modo que
f(x) = u(x)·v(x).
Pela regra do produto: f’(x) = u’(x)·v(x) + u(x)·v’(x).

Passo 3

Para achar u’(x), note que u(x) = [g(x)]^2 com g(x) = sen x + e^x. Pela regra da cadeia:
u’(x) = 2·g(x)·g’(x).
Como g’(x) = cos x + e^x, temos
u’(x) = 2·(sen x + e^x)·(cos x + e^x).

Passo 4

Para v’(x), escrevemos v(x) = [h(x)]^3 com h(x) = cos(cos x) + x^3. Então:
v’(x) = 3·[h(x)]^2·h’(x).
Agora, h’(x) = d/dx[cos(cos x)] + 3x^2. A derivada de cos(cos x) é -sin(cos x)·(d/dx cos x) = -sin(cos x)·(-sen x) = sen(cos x)·sen x. Logo
h’(x) = sen(cos x)·sen x + 3x^2.

Passo 5

Substituindo em f’(x):
f’(x) = 2·(sen x + e^x)·(cos x + e^x)·(cos(cos x) + x3)3
+ (sen x + ex)2·3·(cos(cos x) + x3)2·(sen(cos x)·sen x + 3x^2).

Passo 6

Agora avaliamos em x = 0. Temos sen 0 = 0, cos 0 = 1, e^0 = 1. Logo:
sen 0 + e^0 = 1,
cos 0 + e^0 = 2,
cos(cos 0) = cos(1),
x^3 = 0,
h’(0) = sen(cos 0)·sen 0 + 3·0^2 = 0.
Assim, o segundo termo some, e o primeiro vira:
2·1·2·[cos(1)]^3 = 4·cos^3(1).

Resposta

4cos^3(1)

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