Calcule a derivada da funçāo vetorial
\alpha(t)=\left(\sqrt{t-2}, 3, \frac{1}{t^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\alpha(t)=\left(\sqrt{t-2},\,3,\,\frac{1}{t^{2}}\right)
e pede que se calcule a derivada de \alpha.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeira componente: \sqrt{t-2}.
  • Segunda componente: 3 (constante).
  • Terceira componente: \dfrac{1}{t^{2}}.
O que se pede: encontrar \alpha'(t) (a derivada componente a componente) e indicar para quais valores de t essa derivada faz sentido.

Passo 2

Lembrete sobre domínio (quando cada componente está definida):
  • \sqrt{t-2} exige t-2\ge 0, ou seja t\ge 2.
  • \dfrac{1}{t^{2}} exige t\neq 0.
    Combinando, a função original \alpha(t) está definida para t\ge 2 (nesse intervalo já temos t\neq 0). Mais adiante verificaremos para quais t a derivada existe (pode ser um subconjunto do domínio).

Passo 3

Regras de derivação que vamos usar (explicadas bem devagar):
  • Derivada de uma função vetorial se faz componente a componente. Se \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) então
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr).
  • Derivada de potência (regra do expoente): para f(t)=t^{n} com n\in\mathbb{R},
f'(t)=n\,t^{n-1}.
Exemplo simples: se f(t)=t^{3} então f'(t)=3t^{2}.
  • Regra da cadeia (quando há uma composição): se f(t)=g(h(t)) então
f'(t)=g'(h(t))\cdot h'(t).
No nosso caso \sqrt{t-2}=(t-2)^{1/2} é composição de g(u)=u^{1/2} com u=h(t)=t-2.

Passo 4

Derivada da primeira componente \sqrt{t-2}=(t-2)^{1/2}.
Aplicando a regra da cadeia com g(u)=u^{1/2} e h(t)=t-2:
  • g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}.
  • h'(t)=1.
Portanto
\frac{d}{dt}\sqrt{t-2}=\frac{d}{dt}(t-2)^{1/2}=\frac{1}{2}(t-2)^{-1/2}\cdot 1=\frac{1}{2\sqrt{t-2}}.
Observação sobre existência: essa expressão só é finita (e a derivada existe) quando t-2>0, ou seja t>2. Em t=2 o denominador vira zero e a derivada não existe (a inclinação fica infinita).

Passo 5

Derivada da segunda componente 3.
Regra: derivada de constante é zero. Logo
\frac{d}{dt}3=0.

Passo 6

Derivada da terceira componente \dfrac{1}{t^{2}}=t^{-2}.
Aplicando a regra da potência com n=-2:
\frac{d}{dt}t^{-2}=-2\,t^{-3}=-\frac{2}{t^{3}}.
Essa expressão é definida para todo t\neq 0. Como já temos t\ge 2 do domínio da função, aqui não há restrição extra além de t\neq 0.

Passo 7

Juntando as componentes (derivação componente a componente), obtemos
\alpha'(t)=\left(\frac{1}{2\sqrt{t-2}},\,0,\,-\frac{2}{t^{3}}\right).
Comentário final sobre domínio de diferenciabilidade: a derivada acima existe para t>2 (a primeira componente exige t>2; a terceira exige t\neq 0, já satisfeita por t>2). Em t=2 a função está definida, mas não é diferenciável por causa da primeira componente.

Resposta

\alpha'(t)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{t-2}},\,0,\,-\dfrac{2}{t^{3}}\right),\quad t>2

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