Calcule a derivada da funçāo vetorial
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede que se calcule a derivada de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Primeira componente:
. - Segunda componente:
(constante). - Terceira componente:
O que se pede: encontrar
(a derivada componente a componente) e indicar para quais valores de
essa derivada faz sentido.
Passo 2
Lembrete sobre domínio (quando cada componente está definida):
-
exige , ou seja . -
exige .
Combinando, a função originalestá definida para (nesse intervalo já temos ). Mais adiante verificaremos para quais a derivada existe (pode ser um subconjunto do domínio).
Passo 3
Regras de derivação que vamos usar (explicadas bem devagar):
- Derivada de uma função vetorial se faz componente a componente. Se
então
- Derivada de potência (regra do expoente): para
com ,
Exemplo simples: se
então
.
- Regra da cadeia (quando há uma composição): se
então
No nosso caso
é composição de
com
.
Passo 4
Derivada da primeira componente
.
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
-
. -
.
Portanto
Observação sobre existência: essa expressão só é finita (e a derivada existe) quando
, ou seja
. Em
o denominador vira zero e a derivada não existe (a inclinação fica infinita).
Passo 5
Derivada da segunda componente
.
Regra: derivada de constante é zero. Logo
Passo 6
Derivada da terceira componente
.
Aplicando a regra da potência com
:
Essa expressão é definida para todo
. Como já temos
do domínio da função, aqui não há restrição extra além de
.
Passo 7
Juntando as componentes (derivação componente a componente), obtemos
Comentário final sobre domínio de diferenciabilidade: a derivada acima existe para
(a primeira componente exige
; a terceira exige
, já satisfeita por
). Em
a função está definida, mas não é diferenciável por causa da primeira componente.