• Encontre as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados.
    \alpha(t)=\left(t^{2}+1,4 \sqrt{t}, \exp \left(t^{2}-t\right)\right) ;(2,4,1).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as equações paramétricas das retas tangentes à curva dada no ponto especificado. As informações fornecidas são:
  • A curva é \alpha(t)=\left(t^{2}+1,\;4\sqrt{t},\;\exp\!\left(t^{2}-t\right)\right).
  • O ponto onde queremos a reta tangente é (2,4,1).
    O objetivo é achar o(s) valor(es) de t que geram esse ponto na curva e, em seguida, obter a reta tangente (ou retas, se houver mais de um t) naquele(s) ponto(s).

Passo 2

Encontrar t_0 tal que \alpha(t_0)=(2,4,1). Igualando componente a componente:
t_0^{2}+1=2,
4\sqrt{t_0}=4,
\exp\!\left(t_0^{2}-t_0\right)=1.
Vou resolver cada uma e verificar consistência entre elas.

Passo 3

Resolver a primeira equação:
t_0^{2}+1=2 \quad\Rightarrow\quad t_0^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad t_0=\pm 1.
Mas a segunda equação envolve \sqrt{t_0}. Como \sqrt{t} é definida para t\ge 0 (aqui assumimos valores reais), t_0 deve satisfazer t_0\ge 0. Então o candidato t_0=-1 fica fora por não estar no domínio da raiz real. Agora uso a segunda equação para confirmar:
4\sqrt{t_0}=4 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{t_0}=1 \quad\Rightarrow\quad t_0=1.
Portanto o único t_0 admissível é t_0=1. Verificação na terceira componente:
\exp\!\left(1^{2}-1\right)=\exp(0)=1,
coincide com a terceira coordenada dada. Logo t_0=1 gera exatamente (2,4,1).

Passo 4

Explicar como obter a reta tangente: para uma curva paramétrica \alpha(t), o vetor tangente em t_0 é \alpha'(t_0) (derivada da curva em relação a t). A reta tangente passa por \alpha(t_0) e tem direção dada por \alpha'(t_0). Assim a reta pode ser escrita em forma vetorial
\ell(s)=\alpha(t_0)+s\,\alpha'(t_0),
onde s\in\mathbb{R} é o parâmetro da reta. A derivada de \alpha é calculada componente a componente.

Passo 5

Calcular a derivada \alpha'(t) componente a componente:
  • Para a primeira componente t^{2}+1: \dfrac{d}{dt}(t^{2}+1)=2t.
  • Para a segunda componente 4\sqrt{t}=4t^{1/2}: usar a regra da potência \dfrac{d}{dt}t^{1/2}=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Logo
\dfrac{d}{dt}\big(4t^{1/2}\big)=4\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}=2t^{-1/2}=\frac{2}{\sqrt{t}}.
  • Para a terceira componente \exp(t^{2}-t)=e^{t^{2}-t}: usar a regra da cadeia. A derivada de e^{u(t)} é e^{u(t)}u'(t). Aqui u(t)=t^{2}-t e u'(t)=2t-1. Então
\dfrac{d}{dt}e^{t^{2}-t}=e^{t^{2}-t}(2t-1).
Portanto
\alpha'(t)=\left(2t,\;\frac{2}{\sqrt{t}},\;e^{t^{2}-t}(2t-1)\right).

Passo 6

Avaliar \alpha'(t) em t_0=1:
\alpha'(1)=\left(2\cdot 1,\;\frac{2}{\sqrt{1}},\;e^{1^{2}-1}(2\cdot 1-1)\right)=\left(2,\;2,\;1\right).
Esse vetor (2,2,1) é a direção da reta tangente em (2,4,1).

Passo 7

Escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em forma vetorial:
\ell(s)=(2,4,1)+s(2,2,1),\qquad s\in\mathbb{R}.
Em coordenadas (equações paramétricas):
x=2+2s,\quad y=4+2s,\quad z=1+s,\quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

\ell(s)=(2,4,1)+s(2,2,1)
x=2+2s
y=4+2s
z=1+s

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