- Encontre as equações paramétricas das retas tangentes às curvas nos pontos especificados.
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as equações paramétricas das retas tangentes à curva dada no ponto especificado. As informações fornecidas são:
- A curva é
. - O ponto onde queremos a reta tangente é
.
O objetivo é achar o(s) valor(es) deque geram esse ponto na curva e, em seguida, obter a reta tangente (ou retas, se houver mais de um ) naquele(s) ponto(s).
Passo 2
Encontrar
tal que
. Igualando componente a componente:
Vou resolver cada uma e verificar consistência entre elas.
Passo 3
Resolver a primeira equação:
Mas a segunda equação envolve
. Como
é definida para
(aqui assumimos valores reais),
deve satisfazer
. Então o candidato
fica fora por não estar no domínio da raiz real. Agora uso a segunda equação para confirmar:
Portanto o único
admissível é
. Verificação na terceira componente:
coincide com a terceira coordenada dada. Logo
gera exatamente
.
Passo 4
Explicar como obter a reta tangente: para uma curva paramétrica
, o vetor tangente em
é
(derivada da curva em relação a
). A reta tangente passa por
e tem direção dada por
. Assim a reta pode ser escrita em forma vetorial
onde
é o parâmetro da reta. A derivada de
é calculada componente a componente.
Passo 5
Calcular a derivada
componente a componente:
- Para a primeira componente
: . - Para a segunda componente
: usar a regra da potência . Logo
- Para a terceira componente
: usar a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui e . Então
Portanto
Passo 6
Avaliar
em
:
Esse vetor
é a direção da reta tangente em
.
Passo 7
Escrever a equação paramétrica da reta tangente. Em forma vetorial:
Em coordenadas (equações paramétricas):