- Encontre uma funçāo vetorial que representa a curva de intersecçāo das duas superficies.
O cilindro
e a superficie
.
O cilindro
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede a curva de interseção entre elas. Informações fornecidas:
- Cilindro:
. - Superfície:
.
O que se pede: encontrar uma função vetorialque descreva a curva formada pela interseção dessas duas superfícies.
Passo 2
Ideia para parametrizar: a interseção está em pontos
cujo par
pertence ao círculo de raio
no plano
. Um jeito padrão de parametrizar um círculo de raio
é usar um parâmetro angular
e as funções cosseno e seno. Então propomos:
com
variando em
(ou, para uma volta única,
).
Explicação didática: a identidade trigonométrica
garante que
portanto
satisfaz o cilindro para todo
.
Passo 3
Agora usamos a equação
para obter a componente
da parametrização. Substituindo
e
:
Podemos simplificar usando a identidade de ângulo duplo
. Assim
Portanto uma forma mais simples é
.
Passo 4
Montando a função vetorial completa:
Comentário: esta função dá, para cada
, um ponto que está simultaneamente no cilindro e na superfície
.
Passo 5
Verificação explícita (passo-a-passo, para você poder reproduzir na prova):
- Verificar o cilindro:
- Verificar a superfície
:
Assim a parametrização satisfaz ambas as equações, logo descreve a curva de interseção.
Passo 6
Regularidade e domínio (dica para prova): calcule a derivada
Observe que não existe
tal que simultaneamente
e
(porque
e
não se anulam ao mesmo tempo), então
para todo
: a curva é regular. Para descrever a curva uma única vez, pode-se tomar
; para percorrer várias voltas, permita
.
Passo 7
Outras formas equivalentes (apenas para saber): também se pode escrever
sem usar a identidade de ângulo duplo. Ou usar parametrização com fase:
, que apenas rotaciona a parametrização no plano
.