• Encontre uma funçāo vetorial que representa a curva de intersecçāo das duas superficies.
    O cilindro x^{2}+y^{2}=4 e a superficie z=x y.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede a curva de interseção entre elas. Informações fornecidas:
  • Cilindro: x^{2}+y^{2}=4.
  • Superfície: z = x y.
    O que se pede: encontrar uma função vetorial \mathbf{r}(t) que descreva a curva formada pela interseção dessas duas superfícies.

Passo 2

Ideia para parametrizar: a interseção está em pontos (x,y,z) cujo par (x,y) pertence ao círculo de raio 2 no plano xy. Um jeito padrão de parametrizar um círculo de raio 2 é usar um parâmetro angular t e as funções cosseno e seno. Então propomos:
x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,
com t variando em \mathbb{R} (ou, para uma volta única, t\in[0,2\pi)).
Explicação didática: a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 garante que
x(t)^2+y(t)^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=4,
portanto (x(t),y(t)) satisfaz o cilindro para todo t.

Passo 3

Agora usamos a equação z=xy para obter a componente z(t) da parametrização. Substituindo x(t) e y(t):
z(t)=x(t)\,y(t)=(2\cos t)\,(2\sin t)=4\cos t\sin t.
Podemos simplificar usando a identidade de ângulo duplo \sin 2t=2\sin t\cos t. Assim
4\cos t\sin t = 2\bigl(2\cos t\sin t\bigr)=2\sin 2t.
Portanto uma forma mais simples é z(t)=2\sin 2t.

Passo 4

Montando a função vetorial completa:
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle=\langle 2\cos t,\,2\sin t,\,2\sin 2t\rangle.
Comentário: esta função dá, para cada t, um ponto que está simultaneamente no cilindro e na superfície z=xy.

Passo 5

Verificação explícita (passo-a-passo, para você poder reproduzir na prova):
  • Verificar o cilindro:
x(t)^2+y(t)^2=(2\cos t)^2+(2\sin t)^2=4(\cos^2 t+\sin^2 t)=4.
  • Verificar a superfície z=xy:
x(t)\,y(t)=(2\cos t)(2\sin t)=4\cos t\sin t=2\sin 2t=z(t).
Assim a parametrização satisfaz ambas as equações, logo descreve a curva de interseção.

Passo 6

Regularidade e domínio (dica para prova): calcule a derivada
\mathbf{r}'(t)=\langle -2\sin t,\,2\cos t,\,4\cos 2t\rangle.
Observe que não existe t tal que simultaneamente -2\sin t=0 e 2\cos t=0 (porque \sin t e \cos t não se anulam ao mesmo tempo), então \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} para todo t: a curva é regular. Para descrever a curva uma única vez, pode-se tomar t\in[0,2\pi); para percorrer várias voltas, permita t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Outras formas equivalentes (apenas para saber): também se pode escrever z(t)=4\cos t\sin t sem usar a identidade de ângulo duplo. Ou usar parametrização com fase: \mathbf{r}(t)=\langle 2\cos(t+t_0),\,2\sin(t+t_0),\,2\sin(2t+2t_0)\rangle, que apenas rotaciona a parametrização no plano xy.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\,2\sin t,\,2\sin 2t\rangle,\quad t\in[0,2\pi)

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