Em que pontos a hélice cilindrica
, sen
intersect a a esfera
?
Passo 1
O enunciado nos dá a hélice cilíndrica
e a esfera de equação
A pergunta é: em que pontos a hélice intersecta a esfera? Ou seja, para quais valores de
temos
satisfazendo a equação da esfera, e quais são as coordenadas desses pontos?
Informações relevantes dadas:
- A curva paramétrica é
. - A superfície é a esfera
. - Queremos encontrar os valores de
que tornam verdadeira a equação da esfera quando .
Passo 2
Substituímos as componentes da hélice na equação da esfera. Isso gera uma equação em
:
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica fundamental que é muito útil e deve sempre ser lembrada:
Essa igualdade vale para todo
. Aplicando-a à equação do passo anterior obtemos:
Explanação didática: a identidade
vem da definição das funções seno e cosseno no círculo unitário. Sempre que aparecer
podemos simplificar diretamente para
, o que reduz muito as contas.
Passo 4
Resolvemos a equação resultante para
:
Então
Explicação didática:
é uma equação quadrática simples cujo conjunto de soluções reais é
e
. Não há outras soluções porque a função
é positiva e só alcança
nesses dois pontos.
Passo 5
Agora obtemos as coordenadas dos pontos substituindo
e
em
.
Para
:
Para
:
Usando as identidades trigonométricas
e
, podemos escrever
Dica prática para a prova: deixar as respostas em forma exata com
e
é perfeito. Se precisar de aproximação numérica para conferir, use
e
, então os pontos aproximados são
e
.
Passo 6
Interpretação final curta (para fixar): a hélice cruza a esfera exatamente duas vezes, correspondendo aos dois valores de
que satisfazem
. Isso faz sentido geométrico porque, em cada volta da hélice, o raio no plano
é
(por causa do
e
), e a coordenada
cresce linearmente; a condição de estar na esfera impõe
, ou seja,
, limitando os cruzamentos a dois planos horizontais
e
.