Em que pontos a hélice cilindrica \gamma(t)=(\cos t, sen t, t) intersect a a esfera x^{2}+y^{2}+ z^{2}=5 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a hélice cilíndrica
\gamma(t) = (\cos t,\; \sin t,\; t)
e a esfera de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.
A pergunta é: em que pontos a hélice intersecta a esfera? Ou seja, para quais valores de t temos \gamma(t) satisfazendo a equação da esfera, e quais são as coordenadas desses pontos?
Informações relevantes dadas:
  • A curva paramétrica é \gamma(t)=(\cos t,\sin t,t).
  • A superfície é a esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=5.
  • Queremos encontrar os valores de t que tornam verdadeira a equação da esfera quando x=\cos t,\; y=\sin t,\; z=t.

Passo 2

Substituímos as componentes da hélice na equação da esfera. Isso gera uma equação em t:
(\cos t)^{2}+(\sin t)^{2}+t^{2}=5.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental que é muito útil e deve sempre ser lembrada:
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Essa igualdade vale para todo t. Aplicando-a à equação do passo anterior obtemos:
1 + t^{2} = 5.
Explanação didática: a identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 vem da definição das funções seno e cosseno no círculo unitário. Sempre que aparecer \cos^{2}t+\sin^{2}t podemos simplificar diretamente para 1, o que reduz muito as contas.

Passo 4

Resolvemos a equação resultante para t:
1 + t^{2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=4.
Então
t = \pm 2.
Explicação didática: t^{2}=4 é uma equação quadrática simples cujo conjunto de soluções reais é t=2 e t=-2. Não há outras soluções porque a função t\mapsto t^{2} é positiva e só alcança 4 nesses dois pontos.

Passo 5

Agora obtemos as coordenadas dos pontos substituindo t=2 e t=-2 em \gamma(t).
Para t=2:
\gamma(2) = (\cos 2,\; \sin 2,\; 2).
Para t=-2:
\gamma(-2) = (\cos(-2),\; \sin(-2),\; -2).
Usando as identidades trigonométricas \cos(-2)=\cos 2 e \sin(-2)=-\sin 2, podemos escrever
\gamma(-2) = (\cos 2,\; -\sin 2,\; -2).
Dica prática para a prova: deixar as respostas em forma exata com \cos e \sin é perfeito. Se precisar de aproximação numérica para conferir, use \cos 2\approx -0,4161 e \sin 2\approx 0,9093, então os pontos aproximados são (-0,4161,\,0,9093,\,2) e (-0,4161,\,-0,9093,\,-2).

Passo 6

Interpretação final curta (para fixar): a hélice cruza a esfera exatamente duas vezes, correspondendo aos dois valores de t que satisfazem t^{2}=4. Isso faz sentido geométrico porque, em cada volta da hélice, o raio no plano xy é 1 (por causa do \cos e \sin), e a coordenada z cresce linearmente; a condição de estar na esfera impõe 1+t^{2}=5, ou seja, t^{2}=4, limitando os cruzamentos a dois planos horizontais z=2 e z=-2.

Resposta

\;(\cos 2,\; \sin 2,\; 2)
\;(\cos 2,\; -\sin 2,\; -2)

Exercícios relacionados