Calcule a derivada da função vetorial.
r(t)=(t g(t), sec (7 t), raiz1-t^3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função vetorial r(t) = (t,g(t),;sec(7t),;raiz1-t^3). O assunto aqui é derivada de função vetorial, que se faz compondo as derivadas de cada componente; vamos precisar aplicar a regra do produto no primeiro componente e a regra da cadeia nos demais.

Passo 2

Para o primeiro componente r1(t)=t,g(t), usamos a regra do produto, que diz que (fcdot h)' = f',h + f,h'. Aqui f(t)=t e h(t)=g(t), logo:
r1'(t) = 1cdot g(t) + tcdot g'(t) = g(t) + t,g'(t)

Passo 3

No segundo componente r2(t)=sec(7t), aplicamos a derivada de sec(u), que é sec(u)tan(u),u'. Tomando u=7t e u'=7, obtemos:
r2'(t) = sec(7t)tan(7t)cdot 7 = 7,sec(7t)tan(7t)

Passo 4

Para o terceiro componente r3(t)=raiz1-t^3=(1-t^3)^1/2, usamos a regra da cadeia. Se v=1-t^3, então r3 = v^1/2 e
r3'(t) = tfrac12 v^-1/2cdot v' = tfrac12(1-t^3)^-1/2cdot(-3t^2) = -3t^22raiz1-t^3

Passo 5

Juntando tudo componentemente, a derivada vetorial é:
r'(t) = l(g(t) + t,g'(t),;7,sec(7t)tan(7t),;-3t^22raiz1-t^3r)

Resposta

r'(t) = l(g(t) + t,g'(t),;7,sec(7t)tan(7t),;-tfrac3t^22raiz1-t^3r)

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