Calcule a derivada da função y=log 10(1+e^x1-e^x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = log10!l(1+e^x1-e^xr)
Para resolver isso, vamos usar duas coisas:
  1. A regra da cadeia aplicada à função logarítmica de base 10, isto é
ddxl(log10u(x)r) = u'(x)u(x),ln(10)
  1. A regra do quociente para derivar
u(x)=1+e^x1-e^x

Passo 2

Definimos
u(x)=1+e^x1-e^x
e então
y = log10l(u(x)r)
Aplicando a derivada do logaritmo de base 10,
y' = u'(x)u(x),ln(10)

Passo 3

Agora calculamos u'(x) por quociente. Tome
v(x)=1+e^x, w(x)=1-e^x,
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v'(x)=e^x, w'(x)=-e^x
Pela regra do quociente,
u'(x) =v'(x),w(x)-v(x),w'(x)l(w(x)r)^2 =e^x(1-e^x)-(1+e^x)(-e^x)(1-e^x)^2 =2,e^x(1-e^x)^2

Passo 4

Substituindo u'(x) e u(x) em
y' = u'(x)u(x),ln(10),
obtém-se
y' =2,e^x(1-e^x)^2 1+e^x1-e^x,ln(10) =2,e^x(1-e^x)^2cdot1-e^x1+e^xcdot1ln(10) =2,e^x(1-e^x)(1+e^x),ln(10)
Como (1-e^x)(1+e^x)=1-e^2x, concluímos

Resposta

y' = 2,e^xln(10),l(1-e^2xr)

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