Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações.
f(x, y, z)=exp (x^2+x y+y^2+z^2).

Passo 1

O enunciado pede para testar convexidade e concavidade de
f(x,y,z) = expl(x^2 + x y + y^2 + z^2r)
O conteúdo principal aqui é a definição de convexidade via Hessiana: uma função duas vezes diferenciável é convexa se a sua matriz Hessiana for semidefinida positiva (e estritamente convexa se for definida positiva).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x,y,z) = x^2 + x y + y^2 + z^2,
de modo que
f(x,y,z) = e^,g(x,y,z)
Primeiro, vamos checar a convexidade de g.

Passo 3

Calculamos a Hessiana de g. Note que
gxx = 2, gyy = 2, gzz = 2, gxy = gyx = 1, gxz=gzx=0, gyz=gzy=0
Assim
nabla^2 g(x,y,z) = 2 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Os autovalores do bloco l[2&11&2r] são 3 e 1, e o valor para z é 2, todos positivos. Logo nabla^2 g é definida positiva e g é estritamente convexa.

Passo 4

Agora obtém-se a Hessiana de f. Primeiro o gradiente:
nabla f = f,nabla g
Depois, a Hessiana geral de uma exponencial composta é
nabla^2 f = fl(nabla g,nabla g^T + nabla^2 gr)

Passo 5

Para testar positividade, tome um vetor vneq 0. Então
v^Tnabla^2 f,v = fl(v^T(nabla g,nabla g^T),v ;+; v^Tnabla^2 g,vr) = fl((v^Tnabla g)^2 + v^Tnabla^2 g,vr)
Como f>0, (v^Tnabla g)^2>=0 e v^Tnabla^2 g,v>0 (pois nabla^2 g é definida positiva), segue que
v^Tnabla^2 f,v > 0 forall,vneq0
Isto mostra que nabla^2 f é definida positiva em todo R^3.

Resposta

A função
f(x,y,z)=expl(x^2+xy+y^2+z^2r)
é estritamente convexa em R^3 e não é côncava.

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