Exercício 9. Determine quais funções são convexas e/ou côncavas, provando suas afirmações. .
Passo 1
O enunciado pede para testar convexidade e concavidade de
O conteúdo principal aqui é a definição de convexidade via Hessiana: uma função duas vezes diferenciável é convexa se a sua matriz Hessiana for semidefinida positiva (e estritamente convexa se for definida positiva).
Passo 2
Definimos a função auxiliar
de modo que
Primeiro, vamos checar a convexidade de .
Passo 3
Calculamos a Hessiana de . Note que
Assim
Os autovalores do bloco l[2&11&2r] são 3 e 1, e o valor para z é 2, todos positivos. Logo nabla^2 g é definida positiva e g é estritamente convexa.
Passo 4
Agora obtém-se a Hessiana de f. Primeiro o gradiente:
nabla f = f,nabla g
Depois, a Hessiana geral de uma exponencial composta é
nabla^2 f = fl(nabla g,nabla g^T + nabla^2 gr)
Passo 5
Para testar positividade, tome um vetor vneq 0. Então