10 Mostre que o valor máximo de f(x, y, z)=x^2 y^2 z^2 sobre uma esfera de raio r com centro na origem é (r^33)^3. Use isto para mostrar que se a, b, c in R são números reais não negativos, então raiz[3]a b c <= a+b+c3.
11 Encontre o ponto no gráfico de z=x^2+y^2+10 que está mais próximo do plano x+2 y-z=0.

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
A parte (10) pede para maximizar
f(x,y,z)=x^2y^2z^2
sujeito à restrição
x^2+y^2+z^2=r^2
e, a partir disso, deduzir a desigualdade
raiz[3]abc;<=;a+b+c3
para a,b,c>=0.
A parte (11) pede o ponto do gráfico
z=x^2+y^2+10
mais próximo ao plano
x+2y-z=0
Vamos usar multiplicadores de Lagrange na parte (10) e minimizar a distância ao plano na parte (11).

Passo 2

Parte (10): aplicamos Lagrange. Definimos
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2=0
O sistema é
nabla f=lambda,nabla g
Como
nabla f=(2x,y^2z^2,;2y,x^2z^2,;2z,x^2y^2), nabla g=(2x,2y,2z),
temos as três equações
2x,y^2z^2=2lambda x, 2y,x^2z^2=2lambda y, 2z,x^2y^2=2lambda z
Se x,y,zneq0, dividindo cada equação pela coordenada correspondente,
y^2z^2=lambda, x^2z^2=lambda, x^2y^2=lambda
logo
x^2=y^2=z^2
Pela restrição x^2+y^2+z^2=r^2 vem
3x^2=r^2, x^2=r^23
Assim
fmax=(x^2y^2z^2) =l(r^23r)^3

Passo 3

Ainda na parte (10): para deduzir a desigualdade, basta tomar
x^2=a, y^2=b, z^2=c,
onde a,b,c>=0. Então
x^2+y^2+z^2=a+b+c
e pelo que achamos
a b c =x^2y^2z^2 <=l(a+b+c3r)^3
Tomando raiz cúbica,
raiz[3]a b c;<=;a+b+c3

Passo 4

Parte (11): o ponto genérico no gráfico é (x,y,z) com
z=x^2+y^2+10
A distância ao plano
x+2y-z=0
é, até constante, proporcional a
D(x,y)=l(x+2y-(x^2+y^2+10)r)^2
Minimizamos D(x,y).

Passo 5

Defina
h(x,y)=x+2y-(x^2+y^2+10), D(x,y)=h(x,y)^2
Para um mínimo interior, nabla D=0. Como
partial Dpartial x =2h(x,y)l(1-2xr), partial Dpartial y =2h(x,y)l(2-2yr),
as duas derivadas são zero se e somente se:
ou h(x,y)=0 (não há interseção real, pois isso levaria a soma de quadrados negativa)
ou
1-2x=0,2-2y=0
que dá
x=tfrac12, y=1

Passo 6

Substituindo em z=x^2+y^2+10,
z=l(tfrac12r)^2+1^2+10 =tfrac14+1+10 =tfrac454
Logo o ponto é l(tfrac12,,1,,tfrac454r).

Resposta

(i) O valor máximo de f(x,y,z)=x^2y^2z^2 sobre a esfera x^2+y^2+z^2=r^2 é
l(tfracr^23r)^3
e isso implica
raiz[3]a b c<=a+b+c3
(ii) O ponto do gráfico z=x^2+y^2+10 mais próximo ao plano x+2y-z=0 é
l(tfrac12,,1,,tfrac454r)

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