10 Mostre que o valor máximo de
sobre uma esfera de raio
com centro na origem é
. Use isto para mostrar que se
são números reais não negativos, então
.
11 Encontre o ponto no gráfico de
que está mais próximo do plano
.
11 Encontre o ponto no gráfico de
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
A parte (10) pede para maximizar
A parte (10) pede para maximizar
sujeito à restrição
e, a partir disso, deduzir a desigualdade
para
.
A parte (11) pede o ponto do gráfico
A parte (11) pede o ponto do gráfico
mais próximo ao plano
Vamos usar multiplicadores de Lagrange na parte (10) e minimizar a distância ao plano na parte (11).
Passo 2
Parte (10): aplicamos Lagrange. Definimos
O sistema é
Como
temos as três equações
Se
, dividindo cada equação pela coordenada correspondente,
logo
Pela restrição
vem
Assim
Passo 3
Ainda na parte (10): para deduzir a desigualdade, basta tomar
onde
. Então
e pelo que achamos
Tomando raiz cúbica,
Passo 4
Parte (11): o ponto genérico no gráfico é
com
A distância ao plano
é, até constante, proporcional a
Minimizamos
.
Passo 5
Defina
Para um mínimo interior,
. Como
as duas derivadas são zero se e somente se:
ou (não há interseção real, pois isso levaria a soma de quadrados negativa)
ou
ou
ou
que dá
Passo 6
Substituindo em
,
Logo o ponto é
.
Resposta
(i) O valor máximo de
sobre a esfera
é
e isso implica
(ii) O ponto do gráfico
mais próximo ao plano
é