Calcule a derivada das funções abaixo:
(c) ; f(x)=x+1x sen(x)+cos xsen^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)= x+1xsin x+cos xsin^2 x. Vamos usar regras de derivada de quociente, produto e funções trigonométricas.

Passo 2

Para derivar o primeiro termo x+1xsin x aplicamos a regra do quociente: se u=x+1 e v=xsin x, então (u/v)'=(u'v - uv')/v^2. Aqui u'=1 e v'=sin x + xcos x, logo
(x+1xsin x)' = 1cdot(xsin x) - (x+1)(sin x + xcos x)(xsin x)^2 = -sin x + x(x+1)cos xx^2sin^2 x.

Passo 3

Para derivar o segundo termo cos xsin^2 x usamos novamente o quociente: seja u=cos x, v=sin^2 x. Então u'=-sin x e v'=2sin xcos x, ficando
(cos xsin^2 x)' = -sin xcdotsin^2 x - cos xcdot2sin xcos xsin^4 x = -sin^3 x +2sin xcos^2 xsin^4 x = -sin^2 x +2cos^2 xsin^3 x = -1+cos^2 xsin^3 x.

Passo 4

Somamos as duas derivadas e, para unificar denominares, escrevemos o resultado sobre x^2sin^3 x:
f'(x) = -sin x + x(x+1)cos xx^2sin^2 x - 1+cos^2 xsin^3 x = -sin^2 x + x(x+1)sin xcos x + x^2(1+cos^2 x)x^2sin^3 x.

Resposta

f’(x) = -\frac{\sin^2 x + x(x+1)\sin x\cos x + x2\bigl(1+\cos2 x\bigr)}{x2\sin3 x}

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