Calcule a derivada das funções abaixo:
(g) ; f(x)=3 x+5 ln x-x sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=3x+5ln x - xsin x. Aqui o conteúdo envolvido é derivação de soma de funções, derivada de ln x e regra do produto para xsin x. Vamos usar as regras básicas: derivada de soma é soma das derivadas, ddx[ln x]=1/x e a regra do produto: ddx[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 2

Vamos derivar termo a termo: a derivada de 3x é 3, e a de 5ln x é 5cdot1x=5x. Assim, até aqui temos: ddx[3x+5ln x]=3+5x.

Passo 3

Agora derivamos o termo -xsin x usando a regra do produto em u(x)=x e v(x)=sin x. Temos u'(x)=1 e v'(x)=cos x. Logo:
ddx[xsin x]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1cdotsin x + xcdotcos x=sin x + xcos x

Passo 4

Como o termo original é negativo, a derivada de -xsin x é
-l(sin x + xcos xr) = -sin x - xcos x

Passo 5

Somando tudo, a derivada de f fica:
f'(x) = 3 + 5x - sin x - xcos x

Resposta

f'(x)=3+5x-sin x - xcos x

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