Calcule a derivada das funções abaixo pela definição de derivada (pelo limite).
f^prime(x)=d f(x)d x=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
d)

Passo 1

Estamos calculando a derivada da função a(x)=ln(x) usando a definição de derivada por limite. Vamos precisar usar a propriedade de logaritmo ln(A)-ln(B)=ln(A/B) e o limite conhecido limuto0ln(1+u)u=1.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada:
a(x+h)-a(x)h=ln(x+h)-ln(x)h
Usamos a propriedade de diferença de ln para juntar em um único logarítmo:
lnl((x+h)/xr)h=lnl(1 + tfrachxr)h

Passo 3

Para usar o limite padrão, escrevemos:
lnl(1 + tfrachxr)h=1xcdotlnl(1 + tfrachxr)tfrachx
Agora tomamos o limite hto0. Como tfrachxto0, vale limuto0ln(1+u)u=1. Logo:
limhto0a(x+h)-a(x)h = 1xcdot1 = 1x

Resposta

a'(x)=1x

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